Русская Википедия:Призма (геометрия)
Шаблон:Значения Шаблон:Многогранник При́зма (<math>n</math>-угольная) (Шаблон:Lang-la от Шаблон:Lang-grc «нечто отпиленное») — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками (<math>n</math>-угольниками), лежащими в параллельных плоскостях, а остальные <math>n</math> граней — параллелограммы, имеющие общие стороны с этими многоугольниками.
Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями.
Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы: треугольник — треугольная призма, четырёхугольник — четырёхугольная; пятиугольник — пятиугольная (пентапризма) и т. д.
Призма является частным случаем цилиндра в общем смысле (некругового).
Элементы призмы
| Название | Определение | Обозначения на чертеже | Чертеж |
| Основания | Две грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных друг другу плоскостях. | <math>ABCDE</math>, <math>KLMNP</math> | |
| Боковые грани | Все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. | <math>ABLK</math>, <math>BCML</math>, <math>CDNM</math>, <math>DEPN</math>, <math>EAKP</math> | |
| Боковая поверхность | Объединение боковых граней. | ||
| Полная поверхность | Объединение оснований и боковой поверхности. | ||
| Боковые рёбра | Общие стороны боковых граней. | <math>AK</math>, <math>BL</math>, <math>CM</math>, <math>DN</math>, <math>EP</math> | |
| Высота | Отрезок, соединяющий плоскости, в которых лежат основания призмы и перпендикулярный этим плоскостям. | <math>KR</math> | |
| Диагональ | Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. | <math>BP</math> | |
| Диагональная плоскость | Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. | <math>EBP</math> | |
| Диагональное сечение | Пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат. | <math>EBLP</math> | |
| Перпендикулярное (ортогональное) сечение | Пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной её боковому ребру. |
Свойства призмы
- Основания призмы являются равными многоугольниками.
- Боковые грани призмы являются параллелограммами.
- Боковые рёбра призмы параллельны и равны.
- Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:
- <math>V=S\cdot h</math>
- Объём призмы с правильным n-угольным основанием равен
- <math>V = \frac{n}{4}hs^2 \mathrm{ctg}\frac{\pi}{n}</math> (здесь s — длина стороны многоугольника).
- Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.
- Площадь боковой поверхности произвольной призмы <math>S=P\cdot l</math>, где <math>P</math> — периметр перпендикулярного сечения, <math>l</math> — длина бокового ребра.
- Площадь боковой поверхности прямой призмы <math>S=P\cdot h</math>, где <math>P</math> — периметр основания призмы, <math>h</math> — высота призмы.
- Площадь боковой поверхности прямой призмы с правильным <math>n</math>-угольным основанием равна
- <math>A = \frac{n}{2} s^2 \mathrm{ctg}{\frac{\pi}{n}} + n s h.</math>
- Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.
- Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
- Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
- Двойственным многогранником прямой призмы является бипирамида.
Виды призм
- Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
Прямая призма — это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются прямоугольникамиШаблон:Sfn.
- Прямая прямоугольная призма называется также прямоугольным параллелепипедом. Символ Шлефли такой призмы — { }×{ }×{ }.
Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.
- Правильная призма, боковые грани которой являются квадратами (высота которой равна стороне основания), является полуправильным многогранником. Символ Шлефли такой призмы — t{2,p}.
- Прямые призмы с правильными основаниями и одинаковыми длинами рёбер образуют одну из двух бесконечных последовательностей полуправильных многогранников (другую последовательность образуют антипризмы).
Наклонными называются призмы, рёбра которых не перпендикулярны плоскости основания.
Усечённая призма — многогранник, который отсекается от призмы непараллельной основанию плоскостью[1]. Усечённая призма сама призмой не является.
Диаграммы Шлегеля
| Файл:Triangular prismatic graph.png Треугольная призма |
Файл:Cubical graph.png 4-угольная призма |
Файл:Pentagonal prismatic graph.png 5-угольная призма |
Файл:Hexagonal prismatic graph.png 6-угольная призма |
Файл:Heptagonal prismatic graph.png 7-угольная призма |
Файл:Octagonal prismatic graph.png 8-угольная призма |
Симметрия
Группой симметрии прямой <math>n</math>-угольной призмы с правильным основанием является группа Dnh порядка 4n, за исключением куба, который имеет группу симметрии Шаблон:Не переведено 5 порядка 48, содержащую три версии D4h в качестве подгрупп. Шаблон:Не переведено 5 является Dn порядка 2n, за исключением случая куба, для которого группой вращений является группа Шаблон:Не переведено 5 порядка 24, имеющая три версии D4 в качестве подгрупп.
Группа симметрии Dnh включает центральную симметрию в том и только в том случае, когда n чётно.
Обобщения
Призматические многогранники
Призматический многогранник — это обобщение призмы в пространствах размерности 4 и выше. <math>n</math>-мерный призматический многогранник конструируется из двух (Шаблон:Nowrap)-мерных многогранников, перенесённых в следующую размерность.
Элементы призматического n-мерного многогранника удваиваются из элементов (Шаблон:Nowrap)-мерного многогранника, затем создаются новые элементы следующего уровня.
Возьмём <math>n</math>-мерный многогранник с элементами <math>f_i</math> (i-мерная грань, i = 0, …, n). Призматический (<math>n + 1</math>)-мерный многогранник будет иметь <math>2f_i + f_{-1}</math> элементов размерности i (при <math>f_{-1}=0</math>, <math>f_n=1</math>).
По размерностям:
- Берём многоугольник с <math>n</math> вершинами и <math>n</math> сторонами. Получим призму с 2<math>n</math> вершинами, 3<math>n</math> рёбрами и <math>2 + n</math> гранями.
- Берём многогранник с v вершинами, e рёбрами и f гранями. Получаем (4-мерную) призму с 2v вершинами, <math>2e + v</math> рёбрами, <math>2f + e</math> гранями и <math>2 + f</math> ячейками.
- Берём 4-мерный многогранник с v вершинами, e рёбрами, f гранями и c ячейками. Получаем (5-мерную) призму с 2v вершинами, <math>2e + v</math> рёбрами, <math>2f + e</math> (2-мерными) гранями, <math>2c + f</math> ячейками и <math>2 + c</math> гиперячейками.
Однородные призматические многогранники
Правильный <math>n</math>-многогранник, представленный символом Шлефли Шаблон:Nowrap t}, может образовать однородный призматический многогранник размерности (Шаблон:Nowrap), представленный прямым произведением двух символов Шлефли: Шаблон:Nowrap t}×{}.
По размерностям:
- Призма из 0-мерного многогранника — это отрезок, представленный пустым символом Шлефли {}.
- Призма из 1-мерного многогранника — это прямоугольник, полученный из двух отрезков. Эта призма представляется как произведение символов Шлефли {}×{}. Если призма является квадратом, запись можно сократить: Шаблон:Nowrap
- Файл:Square diagonals.svgПример: Квадрат, {}×{}, два параллельных отрезка, соединённые двумя другими отрезками, сторонами.
- многоугольная призма — это 3-мерная призма, полученная из двух многоугольников (один получен параллельным переносом другого), которые связаны прямоугольниками. Из правильного многоугольника {p} можно получить однородную n-угольную призму, представленную произведением {p}×{}. Если Шаблон:Nowrap, призма становится кубом: Шаблон:Nowrap
- Файл:Pentagonal prism.pngПример: Пятиугольная призма, {5}×{}, два параллельных пятиугольника связаны пятью прямоугольными сторонами.
- 4-мерная призма, полученная из двух многогранников (один получен параллельным переносом другого), со связывающими 3-мерными призматическими ячейками. Из правильного многогранника {p, q} можно получить однородную 4-мерную призму, представленную произведением {p, q}×{}. Если многогранник является кубом и стороны призмы тоже кубы, призма превращается в тессеракт: {4, 3}×{} = Шаблон:Nowrap
- Файл:Dodecahedral prism.pngПример: Шаблон:Не переведено 5, {5, 3}×{}, два параллельных додекаэдра, соединённых 12 пятиугольными призмами (сторонами).
- …
Призматические многогранники более высоких размерностей также существуют как прямые произведения двух любых многогранников. Размерность призматического многогранника равна произведению размерностей элементов произведения. Первый пример такого произведения существует в 4-мерном пространстве и называется дуопризмами, которые получаются произведением двух многоугольников. Правильные дуопризмы представляются символом {p}×{q}.
Скрученная призма и антипризма
Скрученная призма — это невыпуклый призматический многогранник, полученный из однородной q-угольной путём деления боковых граней диагональю и вращения верхнего основания, обычно на угол <math>\frac{\pi}{q}</math> радиан (<math>\frac{180}{q}</math> градусов), в направлении, при котором стороны становятся вогнутымиШаблон:Sfn[2].
Скрученная призма не может быть разбита на тетраэдры без введения новых вершин. Простейший пример с треугольными основаниями называется многогранником Шёнхардта.
Скрученная призма топологически идентична антипризме, но имеет половину симметрий: Dn, [n,2]+, порядка 2n. Эту призму можно рассматривать как выпуклую антипризму, у которой удалены тетраэдры между парами треугольников.
| Треугольная | Четырёхугольные | 12-угольная | |
|---|---|---|---|
| Файл:Οκτάεδρον.svg Многогранник Шёнхардта |
Файл:Twisted square antiprism.png Скрученная квадратная антипризма |
Файл:Square antiprism.png Квадратная антипризма |
Файл:Twisted dodecagonal antiprism.png Скрученная двенадцатиугольная антипризма |
Связанные многогранники и мозаики
Симметрии
Призмы топологически являются частью последовательности однородных усечённых многогранников с конфигурациями вершин (3.2n.2n) и [n,3]. Шаблон:Таблица-1 усечённых фигур
Призмы топологически являются частью последовательности скошенных многогранников с вершинными фигурами (3.4.n.4) и мозаик на гиперболической плоскости. Эти вершинно транзитивные фигуры имеют (*n32) зеркальную Шаблон:Не переведено 5.
Шаблон:Малая таблица расширенных мозаик
Соединение многогранников
Существует 4 однородных соединения треугольных призм:
Соты
Существует 9 однородных сот, включающих ячейки в виде треугольных призм:
- Шаблон:Не переведено 5,
- Шаблон:Не переведено 5,
- повёрнутые треугольные призматические соты,
- Шаблон:Не переведено 5,
- треугольные призматические соты,
- треугольно-шестиугольные призматические соты,
- усечённые шестиугольные призматические соты,
- ромботришестиугольные призматические соты,
- плосконосые шестиугольные призматические соты,
- удлинённые треугольные призматические соты.
Связанные многогранники
Треугольная призма является первым многогранником в ряду Шаблон:Не переведено 5. Каждый последующий однородный многогранник содержит в качестве вершинной фигуры предыдущий многогранник. Шаблон:Не переведено 5 идентифицировал эту серию в 1900 как содержащую все фасеты правильных многомерных многогранников, все симплексы и ортоплексы (правильные треугольники и квадраты для случая треугольных призм). В нотации Коксетера треугольная призма задаётся символом −121. Шаблон:Многогранники K 21
Четырёхмерное пространство
Треугольная призма служит ячейкой во множестве четырёхмерных Шаблон:Не переведено 5, включая:
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
- Шаблон:MathWorld
- George Olshevsky. «Prismatic polytope». Glossary for Hyperspace.
- Nonconvex Prisms and Antiprisms Шаблон:Недоступная ссылка
- Surface Area MATHguide
- Volume MATHguide
- Paper models of prisms and antiprisms Развёртки призм и антипризм
- Paper models of prisms and antiprisms Развёртки, созданные системой Шаблон:Не переведено 5.
- Stella: Polyhedron Navigator: Программы для создания 3D- и 4D-изображений, приведённых на этой странице.
Шаблон:Многогранники Шаблон:Rq
