Русская Википедия:Признаки равенства треугольников (теорема)
Признаки равенства треугольников — одна из основных теорем геометрии.
Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:[1]
- <math>a</math>, <math>b</math>, <math>\gamma</math> (равенство по двум сторонам и углу между ними: СУС);
- <math>a</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math> (равенство по стороне и двум прилежащим углам: УСУ);
- <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> (равенство по трём сторонам: ССС).
Для прямоугольных треугольников есть признаки, некоторые из каких являются исключительными:
- по катету и гипотенузе (то есть в случае прямоугольного треугольника необязательно, чтобы известный угол (а именно прямой) лежал между известными сторонами);
- по двум катетам;
- по катету и острому углу;
- по гипотенузе и острому углу.
Дополнительный признак: треугольники равны, если у них совпадают две стороны и угол, лежащий против большей из этих сторон[2].
В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского существует признак равенства треугольников по трём углам.
Признак равенства по двум сторонам и углу между ними
Примечание
Требование того, чтобы угол лежал между сторонами, является существенным, потому что если известный угол, наоборот, будет лежать напротив известной стороны, то другой, неизвестный угол, который лежит напротив остальной известной стороны, по теореме синусов может быть определён неоднозначно: если синус угла равен какому-то значению, то и синус смежного ему — тоже.
Признак равенства по двум углам и стороне между ними
Примечание
В отличие от первого признака 2-й признак можно переформулировать так, чтобы оба известных угла не прилежали к известной стороне, — и благодаря теореме о сумме углов признак равенства останется верным.
Признак равенства по трём сторонам выглядит так:Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника,то такие треугольники равны
Дополнительный признак
Возвращаясь к равенству треугольников по трём элементам, надо отметить, что соответствующий признак равенства треугольников не всегда имеет место. Например, показательной является задача[3] (см. фото).
Итак, справедлива теорема, которую можно было бы назвать четвёртым признаком равенства треугольников, но не будет он так называться, поскольку это противоречит геометрическим традициям.
Дополнительный признак {по двум сторонам и углу не между ними, если этот угол прямой или тупой}.
Если в треугольниках <math>\mathcal{ABC}</math> и <math>\mathcal{A_1B_1C_1}</math> имеют место равенства <math>\mathcal{AB} = \mathcal{A_1B_1}</math>, <math>\mathcal{AC} = \mathcal{A_1C_1}</math>, <math>\angle\mathcal{ABC} = \angle\mathcal{A_1B_1C_1}</math>, причём указанные углы НЕ являются острыми, то эти треугольники равны. Доказательство этого утверждения приведено в качестве фото. Здесь используется метод доказательства разбором случаев.
Утверждение этой теоремы следует из предыдущих рассуждений. Ведь, как было показано, можно построить единственный треугольник с заданными сторонами и углом.
Примечания
Литература
См. также
- ↑ Геометрия по Киселёву Шаблон:Wayback, § 41.
- ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокSEM219не указан текст - ↑ Шаблон:Книга
