Русская Википедия:Примарная абелева группа

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

<math>p</math>-примарная абелева группа (где <math>p</math> — фиксированное простое число) — абелева группа <math>(A,+)</math>, такая что порядок любого элемента из <math>A</math> является степенью <math>p</math>.

Примеры

• <math>(\mathbb{Z}_{p^n},+)</math> — аддитивная группа классов вычетов по модулю <math>p^n</math>;
• <math>(\mathbb{Z}_{p}[x],+)</math> — аддитивная группа кольца многочленов над полем <math>\mathbb{Z}_{p}</math>.

Свойства

• Любая периодическая абелева группа (то есть группа без элементов бесконечного порядка) разлагается в прямую сумму <math>p</math>-примарных подгрупп.

Примарная абелева группа <math>(A,+)</math> называется элементарной, если все ее ненулевые элементы имеют порядок равный <math>p</math>.

• Абелева группа <math>A</math> является <math>p</math>-примарной элементарной тогда и только тогда, когда она разлагается в прямую сумму групп вида <math>\mathbb{Z}_{p}</math>.

<math>p</math>-высотой элемента <math>a\in A</math> называется наименьшее натуральное число <math>n</math>, такое что <math>a\in nA</math>. Если такого натурального <math>n</math> не существует, то элемент <math>a</math> имеет бесконечную <math>p</math>-высоту.

• Критерий Куликова: <math>p</math>-примарная абелева группа <math>A</math> является прямой суммой циклических групп тогда и только тогда, когда <math>A</math> есть объединение возрастающей цепочки подгрупп

<math>A_1\subseteq A_2\subseteq\ldots\subseteq A_n\subseteq\ldots,\; \bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i=A</math>,

где <math>p</math>-высоты ненулевых элементов подгрупп <math>A_i</math> меньше фиксированного элемента <math>k_n</math>.

Критерий Куликова обобщает теоремы Прюфера:

• Первая теорема Прюфера: Ограниченная <math>p</math>-примарная (периодическая) абелева группа является прямой суммой циклических подгрупп.
• Вторая теорема Прюфера: Счетная <math>p</math>-примарная абелева группа разлагается в прямую сумму циклических подгрупп тогда и только тогда, когда она не содержит ненулевых элементов бесконечной <math>p</math>-высоты.

Литература

• Л. Фукс Бесконечные абелевы группы. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1974, 1977.
• Л. Я. Куликов К теории абелевых групп произвольной мощности // Математический сборник, 1941. — Т. 9, № 1. — С. 165—181.
• H. Prüfer Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen // Mathematische Zeitschrift, 1923. — Т. 17, № 1. — С. 35-61.