Русская Википедия:Примитивный многочлен (алгебра)
Шаблон:Значения В алгебре примитивный многочлен — это всякий многочлен <math>f(x)\in R[x]</math>, где <math>R</math> — ассоциативно-коммутативное кольцо, с однозначным разложением на множители, коэффициенты которого не имеют нетривиальных общих делителей.
Любой многочлен <math>g(x)\in R[x]</math> можно записать в виде <math>g(x)=c_g\cdot f(x)</math>, где <math>f(x)</math> — примитивный многочлен, a <math>c_g</math> — наибольший общий делитель коэффициентов многочлена <math>g(x)</math>. Элемент <math>c_g\in R</math>, определён с точностью до умножения на обратимые элементы из R, он называется содержанием многочлена <math>g(x)</math>.
Лемма Гаусса
Шаблон:Main Если <math>g_1(x),g_2(x)\in R[x]</math>, то <math>c_{g_1g_2}=c_{g_1}c_{g_2}</math>. В частности, произведение примитивных многочленов снова примитивно.
Доказательство
Сначала докажем, что произведение примитивных многочленов есть примитивный многочлен. Для этого достаточно проверить, что если простой элемент <math>p</math> кольца <math>R</math> делит все коэффициенты многочлена <math>f(x)g(x)</math>, то он является общим делителем всех коэффициентов многочлена <math>f(x)</math> или общим делителем всех коэффициентов многочлена <math>g(x)</math>. Пусть <math>f(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_n x^n</math>, <math>g(x)=b_0+b_1x+\ldots+b_m x^m</math>, <math>n=\operatorname{deg} f, m=\operatorname{deg} g</math> — степени этих многочленов. Проведем индукцию по <math>m+n</math>. Если <math>m+n=0</math>, то <math>m=0</math> и <math>n=0</math>, <math>f(x)=a_0, g(x)=b_0</math>. Если <math>p</math> делит <math>a_0b_0</math>, то так как кольцо <math>R</math> факториально, <math>p</math> делит <math>a_0</math> или <math>p</math> делит <math>b_0</math>, то есть в этом случае утверждение верно. В общем случае <math>f(x)g(x)=a_0b_0+(a_0b_1+a_1b_0)x+\ldots+a_nb_mx^{n+m}</math>. Предположим, что некоторый простой элемент <math>p</math> кольца <math>R</math> делит все коэффициенты многочлена <math>f(x)g(x)</math>. Так как <math>p\mid a_nb_m</math> и кольцо <math>R</math> факториально, то <math>p\mid a_n</math> или <math>p\mid b_m</math>. Пусть для определенности <math>p\mid a_n</math>. Если <math>n=0</math>, то <math>p</math> делит все коэффициенты многочлена <math>f(x)</math>. Если же <math>n>0</math>, то заметим, что <math>p</math> будет и общим делителем всех коэффициентов многочлена <math>f_1(x)g(x)</math>, где <math>f_1(x)=f(x)-a_nx^n=a_0+a_1x+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}</math>. Действительно, все коэффициенты многочлена <math>f(x)g(x)-f_1(x)g(x)=a_nx^ng(x)</math> делятся на <math>a_n</math>, а значит, и на <math>p</math>. По предположению индукции <math>p</math> делит все коэффициенты многочлена <math>f_1(x)</math> или все коэффициенты многочлена <math>g(x)</math>. В первом случае <math>p</math> делит также и все коэффициенты многочлена <math>f(x)=f_1(x)+a_nx^n</math>. По принципу математической индукции утверждение доказано для всех значений <math>m</math> и <math>n</math>
Докажем, что <math>c_fc_f=c_{fg}</math>. Пусть <math>f=c_ff_0</math>, <math>g=c_g g_0</math>, где <math>f_0</math>, <math>g_0</math> — примитивные многочлены. Тогда <math>fg=c_fc_gf_0g_0</math>. Так как многочлен <math>f_0g_0</math> по доказанному примитивен, то <math>c_{fg}=c_fc_g</math>. Лемма доказана.
Литература
- Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М.
