Русская Википедия:Принцип Герца

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Принцип Герца, также известный как принцип наименьшей кривизны или принцип прямейшего пути — один из вариационных принципов механики, который гласит, что при отсутствии любых активных сил (потенциальной энергии) из всех кинематически возможных (т.е. допускаемых связями) траекторий действительной будет только та, у которой наименьшая кривизнаШаблон:Sfn. Применялся Герцем для построения механики, в которой действие активных сил заменялось введением соответствующих связей. Впервые предложен в 1894 году.

Принцип Герца часто рассматривается как частный случай гауссовского принципа наименьшего принуждения, частный случай принципа Мопертюи в трактовке Якоби и обобщение закона инерции. Связь с принципом Гаусса обусловлена пропорциональностью принуждения квадрату кривизны. При идеальных связях принцип Герца и принцип Гаусса имеют одинаковое математическое выражение.

Кривой Гаусса-Герца на пути x (t) = x_α (t) в римановом пространстве Rⁿ × l₂, δ_ij + δ^αβ являются минимальные квадраты Лагранжа (сумма серий функций, равномерное схождение)Шаблон:Sfn.

Математическое выражение

В принципе Герца функция Z математически выражается следующим образом:

<math>

Z = \sum_{j=1}^{n} \left| \ddot \mathbf{r}_j \right|^{2} </math>

Кинетическая энергия <math>T</math> сохраняется при этимх условиях:

<math>

T \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} \left| \dot \mathbf{r}_j \right|^{2} </math>

Поскольку Шаблон:Нп5 <math>ds^{2}</math> в <math>3N</math>-мерной системе координат определяется по формуле

<math>

ds^{2} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{j=1}^{n} \left| d\mathbf{r}_j \right|^{2} </math>,

то закон сохранения энергии может также иметь форму

<math>

\left( \frac{ds}{dt} \right)^{2} = 2T </math>

При делении <math>Z</math> на <math>2T</math> появляется ещё один минимум:

<math>

K \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{j=1}^{n} \left| \frac{d^{2} \mathbf{r}_j}{ds^{2}}\right|^{2} </math>

Поскольку <math>\sqrt{K}</math> — локальная кривизна траектории в <math>3n</math>-мерной системе координат, минимизация <math>K</math> равноценна поиску траектории с минимальной кривизной (геодезической).

Литература

• Шаблон:БСЭ3
• Шаблон:БРЭ
• Hertz, H. (1896). Principles of Mechanics. Miscellaneous Papers. III. Macmillan.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья