Русская Википедия:Принцип Дирихле (математическая физика)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В математической физике при́нцип Дирихле́ относится к теории потенциала и формулируется следующим образом: если функция u(x) есть решение уравнения Пуассона:

<math>\Delta u + f = 0</math>

в области <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> с граничным условием <math>u = g</math> на границе <math>\Omega</math>, то u может быть найдена как решение вариационной задачи: найти минимум

<math>E[v(x)] = \int_\Omega \left(\frac{1}{2}|\nabla v|^2 - vf\right)\,\mathrm{d}x</math>

среди всех дважды дифференцируемых функций <math>v</math> таких, что <math>v = g</math> на границе <math>\Omega</math>.

Данное утверждение сформулировал (но не доказал) немецкий математик Дирихле. Карл Вейерштрасс показал, что в некоторых ситуациях принцип Дирихле неверен; позднее условия его применения уточнили Бернгард Риман, Анри Пуанкаре, Давид Гильберт и другие математики.

Литература

• Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. — М.: Наука, 2005, ISBN 978-5-9221-0576-7.
• Михлин С. Г. Вариационные методы решения задач математической физики. УМН, 5:6(40) (1950), 3—51.
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Шаблон:MathWorld