Русская Википедия:Принцип Дюамеля
В математике, а более конкретно в дифференциальных уравнениях, принцип Дюамеля позволяет найти решение неоднородного волнового уравнения, а также неоднородного уравнения теплопроводности[1]. Он назван в честь Жан-Мари Констан Дюамеля (1797—1872), французского математика.
Дано неоднородное волновое уравнение:
- <math>u_{tt}-c^2u_{xx}=f(x,t)</math>
с начальными условиями
- <math>u(x,0)=u_t(x,0)=0.</math>
Решение имеет вид:
- <math>u(x,t) = \frac{1}{2c}\int_0^t\int_{x-c(t-s)}^{x+c(t-s)} f(\xi,s)\,d\xi\,ds.</math>
Для линейного ОДУ с постоянными коэффициентами
Принцип Дюамеля говорит, что решение неоднородного линейного уравнения в частных производных может быть найдено путём нахождения решения для однородного уравнения, а затем подстановкой его в интеграл Дюамеля. Предположим, у нас есть неоднородное обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка m:
- <math> P(\partial_t)u(t) = F(t)</math>
- <math> \partial_t^j u(0) = 0, \; 0 \leq j \leq m-1 </math>
где
- <math> P(\partial_t) := a_m \partial_t^m + \cdots + a_1 \partial_t + a_0,\; a_m \neq 0. </math>
Мы можем решить сначала однородное ОДУ, используя следующие методы. Все шаги делаются формально, игнорируя требования, необходимые для того, чтобы решение было четко определено.
- <math> P(\partial_t)G = 0, \; \partial^j_t G(0) = 0, \quad 0\leq j \leq m-2, \; \partial_t^{m-1} G(0) = 1/a_m. </math>
Определим <math> H = G \chi_{[0,\infty)} </math>, <math>\chi_{[0,\infty)}</math> - характеристическая функция на интервале <math>[0,\infty)</math>. Тогда
- <math> P(\partial_t) H = \delta </math>
есть обобщённая функция.
- <math> u(t) = (H \ast F)(t) </math>
- <math> = \int_0^\infty G(\tau)F(t-\tau)\,d\tau </math>
- <math> = \int_{-\infty}^t G(t-\tau)F(\tau)\, d\tau </math>
есть решение ОДУ.
Для уравнений в частных производных
Пусть есть неоднородное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами:
- <math> P(\partial_t,D_x)u(t,x) = F(t,x)</math>
где
- <math> D_x = \frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial x}</math>
Мы можем решить сначала однородное ОДУ, используя следующие методы. Все шаги делаются формально, игнорируя требования, необходимые для того, чтобы решение было четко определено.
Сначала, используя Преобразование Фурье в x имеем
- <math> P(\partial_t,\xi)\hat u(t,\xi) = \hat F(t,\xi).</math>
где <math> P(\partial_t,\xi) </math> это ОДУ порядка m по t. Пусть <math>a_m </math> это коэффициент слагаемого наивысшего порядка в <math> P(\partial_t,\xi) </math>.
Для каждого <math>\xi </math> решим <math>G(t,\xi) </math>
- <math> P(\partial_t,\xi)G(t,\xi) = 0, \; \partial^j_t G(0,\xi) = 0 \; \mbox{ for } 0\leq j \leq m-2, \; \partial_t^{m-1} G(0,\xi) = 1/a_m. </math>
Определим <math>H(t,\xi) = G(t,\xi) \chi_{[0,\infty)}(t) </math>. Тогда
- <math> P(\partial_t,\xi) H(t,\xi) = \delta(t) </math>
есть обобщённая функция.
- <math> \hat u(t,\xi) = (H(\cdot,\xi) \ast \hat F(\cdot,\xi))(t) </math>
- <math> = \int_0^\infty G(\tau,\xi)F(t-\tau,\xi)\,d\tau </math>
- <math> = \int_{-\infty}^t G(t-\tau,\xi)F(\tau,\xi)\, d\tau </math>
есть решение уравнения (после перехода назад к x).
Примечания
