Русская Википедия:Принцип взрыва
В классической логике, интуиционистской логике и подобных логических системах, используется принцип взрыва (Шаблон:Lang-la, «из ложности [следует] что угодно»; или Шаблон:Lang-la), или принцип Псевдо-Скотуса (ложно приписываемый Дунсу Скотусу) — закон, согласно которому, любое утверждение может быть доказано из противоречия.[1] То есть, после утверждения противоречия, из него можно вывести любое утверждение (включая их отрицания); это также известно как дедуктивный взрыв.[2][3]
Доказательство этого принципа было впервые приведено французским философом XII века Вильгельмом Суассонским (William of Soissons).[4] Из-за принципа взрыва, существование противоречия (непротиворечивости), в формальной аксиоматической системе, является катастрофическим и имеет огромную проблему; поскольку любое утверждение может быть доказано, это делает тривиальными понятия истинности и ложности.[5] Примерно на рубеже 20-го века, обнаружение противоречий, таких как парадокс Рассела, в основах математики, таким образом, поставило под угрозу всю структуру и суть математики. Такие математики, как Готтоб Фреге, Эрнст Цермело, Абрахам Френкель и Торальф Скулем, приложили много усилий к пересмотру теории множеств, с целью устранения данных противоречий, в результате чего появилась современная теория множеств Цермело-Френкеля.
В качестве демонстрации этого принципа, рассмотрим два противоречивых утверждения — «Все лимоны жёлтые» и «Не все лимоны жёлтые» — и предположим, что и то, и другое истинно. В этом случае, можно доказать что угодно, например, утверждение «единороги существуют», используя следующий аргумент:
- Мы знаем, что «Не все лимоны жёлтые», поскольку предполагается, что это правда.
- Также, мы знаем, что «Все лимоны жёлтые», так как это было принято за факт.
- Следовательно, высказывание из двух частей «Все лимоны жёлтые или единороги существуют» также должно быть истинным, поскольку первая часть «Все лимоны жёлтые» из двух частей высказывания является истинной (как это и предполагалось).
- Впрочем, поскольку нам известно, что «Не все лимоны жёлтые» (так как это предполагалось), первая часть является ложной, и, следовательно, вторая часть должна быть истинной, чтобы обеспечить истинность двух частей высказывания, а значит, единороги существуют.
В качестве другого решения этих вопросов и проблем, некоторые математики разработали альтернативные теории математической логики, называемые паранепротиворечивые логики, которые устраняют принцип взрыва.[5] Благодаря этому, некоторые противоречивые утверждения могут быть подтверждены без влияния на другие доказательства.
Символическое представление
В математической логике, принцип взрыва можно выразить схематически, следующим образом: <math>P, \lnot P \vdash Q</math> Для любых высказываний «P» и «Q», если «P» и «не-P» оба истинны, то логически следует, что истинно и «Q».
Доказательство
Ниже приводится формальное доказательство данного принципа с использованием символически математической логики:
Шаг | Предложение | Вывод |
---|---|---|
1 | <math>P</math> | Предположение |
2 | <math>\neg P</math> | Предположение |
3 | <math>P \lor Q</math> | Введение в дизъюнкцию (1) |
4 | <math>Q</math> | Дизъюнктивный силлогизм (3,2) |
Это просто символическая версия неформального аргумента, приведенного во введении, с <math>P</math>, которое означает «Все лимоны жёлтые» и <math>Q</math>, которое означает «Единороги существуют». Для начала мы предположим, что (1) абсолютно все лимоны жёлтые и что (2) не все лимоны жёлтые. Из предложения, что все лимоны имеют жёлтый цвет, мы делаем вывод, что (3) либо все лимоны жёлтые, либо единороги существуют. Но тогда из этого и того факта, что не все лимоны жёлтые, мы выводим, что (4) единороги существуют с применением дизъюнктивного силлогизма.
Семантический аргумент
Альтернативный аргумент в пользу этого принципа вытекает из теории моделей. Предложение <math>P</math> является семантическим следствием набора предложений <math>\Gamma</math> только если каждая модель <math>\Gamma</math> является моделью <math>P</math>. Однако не существует модели противоречивого множества <math>(P \wedge \lnot P)</math>. <i>A fortiori</i>, не существует модели <math>(P \wedge \lnot P)</math> которая не является моделью <math>Q</math>. Таким образом, можно сказать, что каждая модель <math>(P \wedge \lnot P)</math> является моделью <math>Q</math>. Таким образом, <math>Q</math> является семантическим следствием <math>(P \wedge \lnot P)</math>.
Паранепротиворечивая логика
В настоящее время развиваются паранепротиворечивые логики, которые допускают использование субконтрарно-формирующих (subcontrary) операторов. В логической семантике, паранепротиворечивые логики часто отрицают предположение, что не может существовать модели <math>\{\phi , \lnot \phi \}</math> и разрабатывают семантические системы, в которых существуют такие модели. В качестве альтернативы им, например, отвергается идея о том, что пропозиции можно классифицировать как истинные или ложные. Доказательные теоретические (Proof-theoretic) параконсистентные логики, обычно отрицают достоверность какого-либо из шагов, необходимых для выведения следствия парадокса взрыва, обычно включающих дизъюнктивный силлогизм (disjunctive syllogism), введение дизъюнкции (disjunction introduction) и доведение до абсурда.
Применение
Метаматематическое значение принципа взрыва, заключается в том, что для любой логической системы, в которой действует этот принцип, любая выведенная математическая теория, которая доказывает ⊥ ((или эквивалентную форму, <math>\phi \land \lnot \phi</math>) бесполезна, поскольку все её истинностные утверждения превратятся в теоремы, что приведёт к невозможности отличить истину от лжи. Иными словами, принцип взрыва является доводом в пользу закона противоречия, в классической логике, поскольку, без него, все истинные утверждения становятся бессмысленными.
Уменьшение доказательной способности логик без ex falso обсуждается в минимальной логике.
Наглядный пример
Представим, доказательство, что все люди — смертны. Для этого используется следующий аргумент:
- 1. Все люди — смертны (исходное утверждение)
- 2. Сократ — человек (факт, который значится в истории)
- 3. Сократ — смертен (следует из первого и второго пункта по правилу универсального заключения)
Таким образом, доказывается утверждение, используя при этом логические правила и истинные факты. Но что, если вместо истинного факта используется противоречие, например:
- 4. Сократ — жив и мёртв одновременно (противоречие, потому что одно и то же состояние не может быть одновременно истинным и ложным для одного и того же объекта)
Если принять данное противоречие за истину, то можно доказать любое утверждение из него. Например, такое:
- 5. Сократ — жив (следует из четвёртого пункта по правилу устранения конъюнкции)
- 6. Сократ — мёртв (также следует из четвёртого пункта по правилу устранения конъюнкции)
- 7. Сократ — жив или все люди — бессмертны (следует из пятого пункта по правилу введения дизъюнкции)
- 8. не Сократ — жив (это следует из шестого пункта по правилу отрицания)
- 9. все люди — бессмертны (это следует из седьмого и восьмого пункта по правилу дизъюнктивного силлогизма)
Таким образом, доказывается противоположное исходному утверждению из противоречия. При этом появляется соблазн доказать любое другое утверждение, например, «Сократ — президент России» или «Сократ — единорог». Это означает, что если в логике допускаются противоречия, то одновременно теряется возможность отличать истину от лжи.
См. также
- Закон Клавия — следствие мирабилис
- Диалетеизм — вера в существование истинных противоречий
- Закон исключённого третьего — каждое высказывание истинно или ложно
- Закон противоречия — ни одно утверждение не может быть одновременно истинным и ложным.
- Паранепротиворечивая логика — семейство логик, используемых для устранения противоречий.
- Парадокс импликации — кажущийся парадокс, вытекающий из принципа взрыва.
- Доведение до абсурда — вывод о том, что предложение ложно, потому что оно порождает противоречие.
- Тривиализм — вера в то, что все утверждения формы «P и не-P» верны.
Примечания
Шаблон:Примечания Шаблон:Логика Шаблон:Законы логики
- ↑ Шаблон:Cite journal
- ↑ Шаблон:Cite journal
- ↑ Шаблон:Cite book
- ↑ Priest, Graham. 2011. «What’s so bad about contradictions?» In The Law of Non-Contradicton, edited by Priest, Beal, and Armour-Garb. Oxford: Clarendon Press. p. 25.
- ↑ 5,0 5,1 Шаблон:Cite web