Русская Википедия:Принцип детального равновесия
Принцип детального равновесия — общее положение статистики, справедливое для многих случайных (марковских) процессов и физических систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия. Его суть заключается в равенстве вероятностей прямого <math>(n\rarr m)</math> и обратного <math>(m\rarr n)</math> переходов между дискретными состояниями системы <math>m</math> и <math>n</math>.
Марковская цепь, для которой выполняется принцип детального равновесия, называется обратимой.
Принцип детального равновесия, в частности, справедлив в приложении к статистической физике и квантовой механике, поскольку он является следствием основных принципов квантовой механики, например, симметрии квантовых уравнений движения относительно обращения времени.
В квантовой механике математическим выражением принципа детального равновесия является равенство матричных элементов перехода для прямого и обратного процессов <math>|T_{ab}|^{2}=|T_{ba}|^{2}</math>Шаблон:Sfn
В общем случае, принцип детального равновесия можно сформулировать как равенство вероятностей перехода, отнесённых к конечному состоянию:
- <math>\frac{w_{mn}}{P_m}=\frac{w_{nm}}{P_n}</math>,
где
- <math>P_m=\rho_{mm}</math> и <math>P_n=\rho_{nn}</math> — вероятности того, что система находится в состояниях <math>m</math> и <math>n</math>, соответствующие диагональным элементам матрицы плотности <math>\rho</math>;
- <math>w_{mn}=\mathrm{prob}(n\rarr m)</math> — вероятность прямого перехода системы из состояния <math>n</math> в состояние <math>m</math>;
- <math>w_{nm}=\mathrm{prob}(m\rarr n)</math> — вероятность обратного перехода системы из состояния <math>m</math> в состояние <math>n</math>.
В отличие от обычного стационарного состояния, для которого достаточно выполнения условия:
- <math>\frac{dP_n}{dt}=\sum_{m\neq n} \left(w_{nm}\cdot P_m-w_{mn}\cdot P_n\right)=0</math>,
детальное равновесие требует равенства нулю каждого из членов суммы, то есть:
- <math>w_{nm}\cdot P_m=w_{mn}\cdot P_n</math>,
Частные формулировки
Для замкнутых изолированных систем принцип детального равновесия сводится к равенству:
- <math>w_{mn}=w_{nm}.</math>
Если же система не изолирована и взаимодействует с другой большой системой (термостатом), то согласно принципу детального равновесия:
- <math>\frac{w_{mn}}{w_{nm}}=\exp{\frac{E_n-E_m}{kT}}.</math>
Для газа, подчиняющегося статистике Больцмана, принцип детального равновесия принимает вид:
- <math>ff_1=f^\prime f_1^\prime,</math>
где
- <math>f=f\left(\vec{r},\vec{p},t\right),~f_1=f\left(\vec{r},\vec{p}_1,t\right)</math> — функции распределения частиц с импульсами <math>\vec{p},~\vec{p}_1</math> до столкновения;
- <math>f^\prime=f\left(\vec{r},\vec{p}^\prime,t\right),~f_1^\prime=f\left(\vec{r},\vec{p}_1^\prime,t\right)</math> — функции распределения частиц с импульсами <math>\vec{p}^\prime,~\vec{p}_1^\prime</math> после столкновения;
Для квантовых газов:
- <math>ff_1(1\pm f^\prime)(1\pm f_1^\prime)=f^\prime f_1^\prime(1\pm f)(1\pm f_1),</math>
где знак «+» соответствует бозонам, а знак «−» — фермионам.
См. также
Примечания
Литература
