Русская Википедия:Принцип максимума модуля

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Принцип максимума модуля выражается следующей теоремой:

Если <math>f</math> голоморфна в некоторой области <math>G\subset\mathbb C^n</math> и существует точка <math>z_0\in G</math> такая, что во всей области <math>G</math> выполняется неравенство <math>|f(z_0)|\geqslant |f(z)|</math>, то <math>f(z)\equiv\mathrm{const}</math>.

Другими словами, модуль аналитической функции, отличной от константы, не может иметь локальных максимумов внутри области <math>G</math>.

Следствия

• Принцип минимума модуля. Если <math>f</math> аналитична в некоторой области <math>G\subset\Complex^n</math>, не обращается там в нуль, и существует точка <math>z_0\in G</math> такая, что во всей области <math>G</math> выполняется неравенство <math>|f(z_0)|\leqslant|f(z)|</math>, то <math>f(z)\equiv\mathrm{const}</math>. (То есть локальные минимумы модуля аналитической функции, отличной от константы, могут достигаться только в тех точках, где она обращается в ноль.)
• Принцип максимума вещественной и мнимой части. Если для аналитической функции <math>f(z)</math> в точке <math>z_0\in G</math> достигается локальный максимум (минимум) у её вещественной (или мнимой) части, тогда функция <math>f(z)</math> есть константа.

(Здесь используется обычный принцип максимума модуля для функций <math>e^{f(z)}</math> и <math>e^{if(z)}</math>, а также равенство <math>\left|e^{f(z)}\right|=e^{\mathrm{Re}\,f(z)}</math>.)

• Пусть <math>K\subset\mathbb C^n</math> — компактное подмножество. Для всякой функции <math>f</math>, непрерывной на <math>K</math> и аналитичной внутри <math>K</math>, выполнено равенство:

<math>\|f\|_K=\|f\|_{\partial K}.</math>

Если последовательность таких функций равномерно сходится на границе компакта <math>K</math>, тогда она сходится равномерно на всём <math>K</math>.

• Лемма Шварца

Литература

• Шаблон:Публикация