Русская Википедия:Принцип минимума потенциальной энергии
Принцип минимума общей потенциальной энергии — это фундаментальное понятие, используемое в физике, химии, биологии и технике. Он утверждает, что структура или тело должны деформироваться или смещаться в положение, которое минимизирует общую потенциальную энергию физической системы, при этом утраченная потенциальная энергия рассеивается как тепло. Например, шарик, помещенный в миску, переместится на дно и там будет лежать, и так же, нагруженная снегом ветка дерева будет наклоняться в нижнее положение. Нижнее положение — это положение для минимальной потенциальной энергии: это стабильная конфигурация равновесия. Принцип имеет много применений в структурном анализе и механике твердого тела.
Тенденция к минимуму общей потенциальной энергии обусловлена вторым законом термодинамики, который утверждает, что энтропия системы максимизируется в равновесном состоянии. Учитывая две возможности — низкое содержание тепла и высокую потенциальную энергию, или высокое содержание тепла и низкую потенциальную энергию, последняя будет состоянием с высокой энтропией, а следовательно, будет состоянием, к которому движется система.
Принцип минимальной общей потенциальной энергии не следует путать с примыкающим к нему принципу минимальной энергии, который утверждает, что для системы, которая меняется без передачи тепла, общая энергия будет минимизирована.
В большинстве сложных систем существует один глобальный минимум и много локальных минимумов потенциальной энергии. Они называются метастабильными состояниями. Система может находиться в местном минимуме в течение длительного времени — даже фактически бесконечный промежуток времени.
Примеры
Свободный протон и свободный электрон, как правило, образуют связанное состояние, образуя самое низкое энергетическое состояние (основное состояние) атома водорода, наиболее стабильную конфигурацию. Это связано с тем, что энергия этого состояния на 13,6 электрон вольт (эВ) ниже, чем когда две частицы разделены бесконечным расстоянием. Рассеяния в этой системе приобретает форму спонтанного излучения электромагнитного излучения, увеличивает энтропию окружающей среды.
Катящийся шар окажется неподвижной на дне холма — точке минимальной потенциальной энергии. Причина заключается в том, что, когда он катится вниз под действием силы тяжести, трение, вызванное его движением, увеличивает тепло окружающей среды с сопутствующим увеличением энтропии.
Белок сворачивается в состояние низкой энергии. В этом случае диссипация принимает форму вибрации атомов внутри или рядом с белком.
Структурная механика
Полная потенциальная энергия, <math> \boldsymbol{\Pi} </math>, представляет собой сумму энергии упругой деформации, U, запасенной в деформируемом теле, и потенциальной энергии, V, связанной с приложенными силами[1]:
- <math> \boldsymbol{\Pi} = \mathbf{U} + \mathbf{V} \qquad \mathrm{(1)} </math>
Эта энергия находится в стационарном положении, когда бесконечно малое отклонение от такого положения не приводит к изменению энергии[1]
- <math> \delta\boldsymbol{\Pi} = \delta(\mathbf{U} + \mathbf{V}) = 0 \qquad \mathrm{(2)}</math>
Принцип минимума полной потенциальной энергии может быть получен как частный случай принципа виртуальной работы для упругих систем, подверженных действию консервативных сил.
Равенство между внешней и внутренней виртуальной работой (из-за виртуальных перемещений):
- <math> \int_{S_t} \delta\ \mathbf{u}^T \mathbf{T} dS + \int_{V} \delta\ \mathbf{u}^T \mathbf{f} dV = \int_{V}\delta\boldsymbol{\epsilon}^T \boldsymbol{\sigma} dV \qquad \mathrm{(3)} </math>
где
- <math> \mathbf{u} </math> — вектор перемещений;
- <math> \mathbf{T} </math> — вектор распределенных сил, действующих на часть <math> S_t </math> поверхности;
- <math> \mathbf{f} </math> — вектор обхъёмных сил.
В частном случае упругих тел правую часть (3) можно принять за замену: <math> \delta \mathbf{U} </math>, энергии упругой деформации U из-за бесконечно малых вариаций реальных перемещений. Кроме того, когда внешние силы — консервативные силы, левую сторону (3) можно рассматривать как изменение потенциальной энергии функции V сил. Функция V определяется как[2]:
- <math> \mathbf{V} = -\int_{S_t} \mathbf{u}^T \mathbf{T} dS - \int_{V} \mathbf{u}^T \mathbf{f} dV </math>
где знак минус означает потерю потенциальной энергии при перемещении силы в её направлении. С этими двумя дополнительными условиями (3) становится:
- <math> -\delta\ \mathbf{V} = \delta\ \mathbf{U} </math>
Это приводит к (2), что и нужно. Вариационная форма (2) часто используется в качестве основы для разработки метода конечных элементов в строительной механике.
Примечания
Шаблон:Примечания Шаблон:Изолированная статья
