Русская Википедия:Принцип наименьшего принуждения
При́нцип наименьшего принуждения, или при́нцип Га́усса, состоит в том, что в каждый момент времени истинное движение системы, находящейся под действием активных сил и подчиненной идеальным связям, отличается от всех кинематически возможных движений, совершающихся из той же начальной конфигурации и с теми же начальными скоростями, тем свойством, что для истинного движения мера отклонения от свободного движения, то есть принуждение, есть минимум.
Принцип наименьшего принуждения относится к числу дифференциальных вариационных принципов механики и предложенШаблон:Sfn К. Ф. Гауссом в 1829 г. в работе «Об одном новом общем законе механики». Принцип применим к механическим системам с идеальными связями и сформулирован Гауссом так: «движение системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свободными, т. е. происходит с наименьшим возможным принуждением, если в качестве меры принуждения, применённого в течение бесконечно малого мгновения, принять сумму произведений массы каждой точки на квадрат величины её отклонения от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободной»[1].
Формулировка принципа у Гаусса не отличалась достаточной определённостью. Для аналитического оформления данного принципа большое значение имелаШаблон:Sfn работа Г. Шеффлера (1820—1903) «О Гауссовом основном законе механики», опубликованная в 1858 г. В ней Шеффлер переопределилШаблон:Sfn принуждение как следующее (в современных обозначенияхШаблон:Sfn) выражение:
- <math>Z\;=\;\frac{1}{2}\;\overset{}{\overset{N}{\underset{i=1}{\sum}}}\,m_{i}\left(\mathbf{w}_{i}-\frac{\mathbf{F}_{i}}{m_{i}}\right)^{2}</math> ,
где <math>N</math> — число точек, входящих в систему, <math>m_{i}</math> — масса <math>i</math>-й точки, <math>\mathbf{F}_{i}</math> — равнодействующая приложенных к ней активных сил, <math>\mathbf{w}_{i}</math> — ускорение данной точки (в действительности Шеффлер пользовался скалярной формой записи, причём множитель перед знаком суммы у него отсутствовал). После этого математическим выражением принципа наименьшего принуждения стало наличие минимума у функции <math>Z</math>.
Обоснование
Пусть точка механической системы с массой <math>m_{i}</math> в момент времени <math>t_{0}</math> находится в положении <math>M_{i}</math>. При свободном движении точка за очень малый промежуток <math>\tau</math> пройдёт расстояние <math>\overline{M_{i}A_{i}}\,=\,\mathbf{v}_{i}\,\tau</math> (рис.1), где <math>\mathbf{v}_{i}</math> — скорость точки в момент времени <math>t_0</math>. Если же на точку будет действовать активная сила <math>\mathbf{F}_{i}</math>, точка под воздействием этой силы совершит перемещение <math>\overline{M_{i}B_{i}}</math>. Разложив в ряд по времени вектор перемещения, будем иметь:
- <math>\mathbf{r}(t_{0}+\tau)\;=\;\mathbf{r}(t_{0})+\overset{\cdot}\mathbf{r}(t_{0})\,\tau+\frac{1}{2}\;\overset{\cdot\cdot}\mathbf{r}(t_{0})\,\tau^{2}+...</math>
Но
- <math>\overset{\cdot}\mathbf{r}(t_{0})\;=\;\mathbf{v}, \;\;\overset{\cdot\cdot}\mathbf{r}(t_{0})\;=\;\frac{\mathbf{F}_{i}}{m_{i}}</math>
Поэтому это перемещение с точностью до малых третьего порядка будет равно:
- <math>\overline{M_{i}B_{i}}\;=\;\mathbf{v}_{i}\,\tau+\frac{1}{2}\;\frac{\mathbf{F}_{i}}{m_{i}}\,\tau^{2}</math>
Если же на точку наложить связи, то её перемещение по действием силы <math>\mathbf{F}_{i}</math> и при наличии связей будет с точностью до малых третьего порядка равно:
- <math>\overline{M_{i}C_{i}}\;=\;\mathbf{v}_{i}\,\tau+\frac{1}{2}\;\mathbf{w}_{i}\,\tau^{2}</math> ,
где <math>\mathbf{w}_{i}</math> — ускорение точки в её действительном движении. Тогда отклонение точки от свободного движения будет представлено вектором <math>\overline{B_{i}C_{i}}</math>. Очевидно, что
- <math> \overline{B_{i}C_{i}}\;=\;\overline{M_{i}C_{i}}-\overline{M_{i}B_{i}}\;=\;\frac{1}{2}\;\tau^{2}\left(\mathbf{w}_{i}-\frac{\mathbf{F}_{i}}{m_{i}}\right)</math>
с точностью до малых третьего порядка. За меру отклонения точки от свободного движения Гаусс принял величину, пропорциональную квадрату отклонения <math>\overline{B_{i}C_{i}}</math>, которую и назвал принуждением. Принуждение для точки с массой <math>m_{i}</math> имеет следующее выражение:
- <math>Z_{i}\;=\;\frac{1}{2}\;m_{i}\left(\mathbf{w}_{i}-\frac{\mathbf{F}_{i}}{m_{i}}\right)^{2}</math>
Просуммировав принуждения для всех точек системы, получим:
- <math>Z\;=\;\frac{1}{2}\;\overset{}{\overset{N}{\underset{i=1}{\sum}}}\,m_{i}\left(\mathbf{w}_{i}-\frac{\mathbf{F}_{i}}{m_{i}}\right)^{2}</math>
Из приведённого в начале статьи определения следует, что для ускорений в действительном движении
- <math>\delta\,Z\;=\;0</math>
причем вариация берётся только по ускорениям, а координаты и скорости полагаются неизменными. Вариацию такого рода называют гауссовой вариацией.
Значение принципа Гаусса
Одним из первых высоко оценил значение принципа наименьшего принуждения Гаусса выдающийся русский математик и механик М. В. Остроградский, который придавал особенно большое значение подходу Гаусса к пониманию связей. В своём мемуаре 1836 г. «О мгновенных перемещениях системы, подчинённой переменным условиям» Остроградский указывал такое следствие из принципа Гаусса: давление на связи со стороны точек системы в истинном движении системы должно быть минимальным по сравнению с другими кинематически осуществимыми движениямиШаблон:Sfn. В 1878 г. И. И. Рахманинов придал[2] принципу Гаусса энергетическую трактовку, переформулировав его как принцип наименьшей потерянной работыШаблон:Sfn.
Французский математик Ж. Бертран охарактеризовал принцип Гаусса как «красивую теорему, содержащую одновременно общие законы равновесия и движения и являющуюся, по-видимому, наиболее общим и изящным выражением, какое только им было придано»Шаблон:Sfn.
Принцип наименьшего принуждения обладает весьма большой общностью, так как применим к самым различным механическим системам: к консервативным и неконсервативным, к голономным и неголономным. Поэтому, в частности, он часто используется[3] в качестве исходного пункта при выводе уравнений движения неголономных систем. Вместе с тем принцип Гаусса используют и непосредственно — в задачах, связанных с компьютерным моделированием динамики систем твёрдых тел (в частности, манипуляционных роботов); при этом выполняется численная минимизация принуждения методами математического программирования[4].
Принцип Гаусса обобщёнШаблон:Sfn на случай освобождения системы от части связей[5][6], а также на случай систем, стеснённых неидеальными связями, и на случай сплошных сред[7].
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга — С. 29—45.
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- ↑ Гаусс К. Об одном новом общем принципе механики (Über ein neues allgemeines Grundgesetz der MechanikШаблон:Недоступная ссылка // Journal für Reine und Angewandte Mathematik. 1829. Bd. IV. — S. 232—235.) // Вариационные принципы механики: Сб. статей / Под ред. Л. С. Полака. — Шаблон:М.: Физматгиз, 1959. — 932 с. — С. 170—172.
- ↑ Рахманинов И. И. Начало наименьшей потерянной работы как общее начало механики // Изв. Киевского ун-та. 1878. № 4. — С. 1—20.
- ↑ Голубев Ю. Ф. Основы теоретической механики. — Шаблон:М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000. — 719 с. — ISBN 5-211-04244-1. — С. 427.
- ↑ Верещагин А. Ф. Принцип Гаусса наименьшего принуждения в динамике исполнительных механизмов роботов // Попов Е. П., Верещагин А. Ф., Зенкевич С. Л. Манипуляционные роботы: динамика и алгоритмы. — Шаблон:М.: Наука, 1978. — 400 с. — С. 77—102.
- ↑ Болотов Е. А. О принципе Гаусса // Изв. Физ.-матем. об-ва при Казан. ун-те. Сер. 2. 1916. Т. 21, № 3. — С. 99—152.
- ↑ Четаев Н. Г. О принципе Гаусса // Изв. Физ.-матем. об-ва при Казан. ун-те. Сер. 3. 1932—1933. Т. 6. — С. 68—71.
- ↑ Румянцев В. В. О некоторых вариационных принципах в механике сплошных сред // Прикл. матем. и мех. 1973. Т. 37. Вып. 6. — С. 963—973.
