Русская Википедия:Принцип равномерной ограниченности

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Принцип равномерной ограниченности или Теорема Банаха — Штейнгауза — фундаментальный результат функционального анализа. Теорема утверждает, что поточечная и равномерная ограниченности эквивалентны для семейств непрерывных линейных операторов, заданных на Банаховом пространстве.

История

Теорема была доказана Банахом и Штейнгаузом и независимо Хансом Ханом.

Формулировка

Пусть <math>X</math> — Банахово пространство, <math>Y</math> — нормированное векторное пространство, <math>F</math> — семейство линейных непрерывных операторов из <math>X</math> в <math>Y</math>. Предположим, что для любого <math>x\in X</math> выполняется

<math>\sup\nolimits_{T \in F} \|T(x)\|_Y < \infty. </math>

Тогда

<math>\sup\nolimits_{T \in F,\|x\|=1} \|T(x)\|_Y=\sup\nolimits_{T \in F} \|T\|_{\mathcal{L}(X,Y)} < \infty.</math>

Следствия

Если последовательность ограниченных операторов на банаховом пространстве сходится поточечно, то её поточечный предел является ограниченным оператором.

Вариации и обобщения

  • Бочечное пространство — наиболее общий тип пространств в которых выполняется принцип равномерной ограниченности.
  • Принцип ограниченности выполняется для семейств отображений из <math>X</math> в <math>Y,</math> если <math>X</math> является пространством Бэра и <math>Y</math> — Шаблон:Нп1.

Список литературы

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Принцип_равномерной_ограниченности&oldid=10647183