Русская Википедия:Принцип транслинейности
Принцип транслинейности (Шаблон:Lang-en, от Шаблон:Lang-en — крутизна передаточной характеристики) в анализе и проектировании аналоговых интегральных схем — правило (уравнение), определяющее соотношения токов, протекающих через активные элементы схемы (эмиттерные переходы биполярных транзисторов или каналы МДП-транзисторов). Сформулирован Барри Гилбертом в 1975 годуШаблон:SfnШаблон:Sfn. Принцип транслинейности — прямое следствие из второго закона Кирхгофа и экспоненциального характера зависимости тока через p-n-переход от приложенного к нему напряжения. Он позволяет заменить сложный анализ экспоненциальных и логарифмических зависимостей токов и напряжений на простой анализ произведений токов — при условии, что схема может быть упрощена до одного или нескольких замкнутых контуров, а входные и выходные сигналы выражены токами, а не напряжениями. При этом особенности технологического процесса, коэффициент усиления транзистора и влияние температуры выводятся за скобкиШаблон:SfnШаблон:Sfn. Исторически принцип транслинейности применялся к схемам на биполярных транзисторах, но в 1980-х годах он был распространён на аналоговые схемы, построенные на МДП-транзисторах в субпороговом режиме. Поэтому в современных формулировках принципа конкретное указание на pn-переходы заменено обобщёнными «идеальными транслинейными элементами», под которыми понимаются либо эмиттерные переходы биполярных транзисторов, либо каналы МДП-транзисторов. Наиболее строгая формулировка утверждает, что Шаблон:Начало цитаты Во всякой замкнутой цепи, составленной из любого числа пар идеальных транслинейных элементов, произведение плотностей токов через переходы, ориентированные по направлению обхода контура, строго равно произведению плотностей токов через переходы, ориентированные во встречном направленииШаблон:SfnШаблон:Sfn. Шаблон:Конец цитаты Если все транзисторы замкнутого контура идентичны, то плотности токов можно заменить на непосредственно токи: Шаблон:Начало цитаты Во всякой замкнутой цепи, составленной из любого числа пар идентичных, идеальных транслинейных элементов, произведение токов через переходы, ориентированные по направлению обхода контура, строго равно произведению токов через переходы, ориентированные во встречном направлении.Шаблон:Sfn Шаблон:Конец цитаты
Понятие транслинейности
Коллекторный ток идеального биполярного транзистора Ic экспоненциально зависит от напряжения на эмиттерном p-n-переходе Ube по формуле Шокли:
- <math>I_c = \lambda I_s e^\frac{U_{be}}{Ut}</math>,Шаблон:SfnШаблон:Sfn
где Is — ток насыщения стандартного транзистора для выбранного технологического процесса, λ — масштабный коэффициент данного транзистора, тепловое напряжения Ut = kT/q (q — заряд электрона). Крутизна передаточной характеристики gm, определяемая как первая производная Ic по Ube, оказывается прямо пропорциональна току:
- <math>g_m = \frac { \partial I_c } { \partial U_{be} } = \frac { I_c } { U_t }</math>Шаблон:Sfn
Это фундаментальное свойство линейной зависимости крутизны (Шаблон:Lang-en) от тока Гилберт назвал транслинейностью (Шаблон:Lang-en)Шаблон:Sfn. Впоследствии оно было распространено на аналоговые схемы на МДП-транзисторах в субпороговых режимах. Предельный ток канала такого МДП-транзистора оказывается пропорционален экспоненте напряжения, а крутизна характеристики — пропорциональна току каналаШаблон:Sfn. С точки зрения теории транслинейных схем, разница между биполярными и МДП-транзисторами только в том, что <math>U_t</math> не зависит от технологии производства, а аналогичный коэффициент МДП-транзистора, напротив, сильно зависит от выбранной технологииШаблон:Sfn.
В транслинейных схемах прямо смещённые эмиттерные pn-переходы биполярных транзисторов образуют замкнутые контуры. При обходе такого замкнутого контура половина эмиттерных переходов окажется «попутными» (ток эмиттера совпадает с направлением обхода контура), а половина — «встречными»Шаблон:Sfn. Количество pn-переходов в контуре должно быть чётным, а количество попутных и количество встречных переходов должны совпадать: в противном случае невозможно обеспечить протекание тока через все pn-переходы контураШаблон:Sfn. Исторически, первой схемой такого рода была ячейка Гилберта — элементарный широкополосный аналоговый умножитель с токовыми входами и токовыми выходамиШаблон:Sfn. Простейший пример такой «чётной» схемы — диодный мост, включенный таким образом, что через каждый диод протекает прямой ток. При любом выборе направления обхода моста (по часовой стрелке или против неё) два диода оказываются ориентированы по направлению обхода, два других диода — во встречном направленииШаблон:Sfn.
Визуально похожая схема кольцевого модулятора не является транслинейной, так как в ней протекание прямого тока через все четыре диода невозможно. В кольцевом модуляторе все диоды ориентированы «попутно» (или «все встречно», в зависимости от точки зрения).
Вывод формулы
Согласно второму закону Кирхгофа, алгебраическая сумма падений напряжения на pn-переходах при обходе замкнутого контура длиной 2N элементов равна нулю. Как следствие, сумма напряжений на N попутных pn-переходах, обозначаемых значком <math>\circlearrowright</math>, равна сумме напряжений на N встречных pn-переходах, обозначаемых значком <math>\circlearrowleft</math>:
- <math>\sum_{k=1}^N {U_{\circlearrowright k}} = \sum_{k=1}^N {U_{\circlearrowleft k}}</math>Шаблон:Sfn
Если через все pn-переходы контура протекают прямые токи, то напряжения на них можно выразить через токи по формуле Шокли:
- <math>\sum_{k=1}^N {U_t \ln { \frac {I_{\circlearrowright k}} {\lambda_{\circlearrowright k} I_s} } } = \sum_{k=1}^N {U_t \ln { \frac {I_{\circlearrowleft k}} {\lambda_{\circlearrowleft k} I_s} } }</math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn
Ut и Is всех эмиттерных переходов, сформированных на кристалле ИС, можно полагать равными и потому исключить из рассмотрения:
- <math>\sum_{k=1}^N { \ln { \frac {I_{\circlearrowright k}} {\lambda_{\circlearrowright k} } } } = \sum_{k=1}^N { \ln { \frac {I_{\circlearrowleft k}} {\lambda_{\circlearrowleft k} } } }</math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn
Так как сумма логарифмов равна логарифму произведения, то последнее равенство эквивалентно равенству, названному принципом транслинейности:
- <math>\prod_{k=1}^N { \frac {I_{\circlearrowright k}} {\lambda_{\circlearrowright k} } } = \prod_{k=1}^N { \frac {I_{\circlearrowleft k}} {\lambda_{\circlearrowleft k} } }</math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn
Шаблон:Начало цитаты произведение плотностей токов через pn-переходы, ориентированные по направлению обхода контура, строго равно произведению плотностей токов через переходы, ориентированные во встречном направленииШаблон:SfnШаблон:Sfn Шаблон:Конец цитаты
В первоначально опубликованной формулировке 1975 года Гилберт вынес за скобки плотности токов, заменив строгое равенство на пропорциональность:
- <math>\prod_{k=1}^N {I_{\circlearrowright k} } = X \prod_{k=1}^N { I_{\circlearrowleft k} }</math>Шаблон:Sfn, где постоянная X зависит только от геометрических размеров элементов:
Шаблон:Начало цитаты Во всякой замкнутой цепи, составленной из любого числа пар прямосмещённых pn-переходов, произведение токов через переходы, ориентированные по направлению обхода кольца, пропорционально произведению токов через переходы, ориентированные во встречном направлении. Коэффициент пропорциональности зависит исключительно от геометрических размеров элементов, и практически не зависит от изменений температуры и погрешностей производственного процесса. Шаблон:OqШаблон:SfnШаблон:Sfn Шаблон:Конец цитаты
Вывод аналогичной зависимости для n-МДП и КМОП схем приводится Serra-Graells et al, с. 80-86.
Пример анализа схемы
Принцип транслинейности позволяет рассчитывать внутренние токи схемы, не обращаясь к анализу нелинейных зависимостей токов и напряжений — при условии протекания прямых токов через все элементы замкнутого контура.
Задача:[1] В верхнюю вершину диодного моста втекает ток I. В правую вершину моста втекает ток kI (k может быть и отрицательной величиной — в этом случае ток вытекает). Все диоды идентичны, температуры всех pn-переходов равны. Необходимо:
- определить корректный диапазон значений k;
- установить зависимость тока через левое плечо моста от k.
Решение: обозначим токи через A, B, C и D как aI, bI, cI и dI соответственно. Из схемы очевидно, что
- <math>\mathrm{
\Bigg\{ \begin{matrix}
\mbox{ b=a } \\
\mbox{ c=1-a } \\
\mbox{ d=c+k=1+k-a }
\end{matrix}}</math>
Принцип транслинейности устанавливает четвёртое условие:
- <math>ab = cd</math>
Выражая b, c, d через a, сводим решение к простому уравнению одной переменной:
- <math>a^2=(1-a)(1+k-a)</math>
Решая уравнение относительно a, получаем искомое: <math>I_A = I \left( { {k + 1} \over {k + 2}} \right)</math>, верное при k > −1.
При k = −1 весь ток I протекает через диод C, ток через D равен нулю, схема перестаёт быть транслинейной. Значения k < −1 не допустимы: ток, вытекающий из правого плеча схемы, не может превышать тока, втекающего в верхнее плечо. В противном случае следовало бы допустить, что разница токов формируется обратными токами диодов A, B и D. Пробой обратно-смещённого диода, безусловно, возможен (например, если в роли источника тока выступает достаточно большая индуктивность), но лежит далеко за пределами нормальной работы диодного моста.
Гилберт отмечал, что «настоящие» дискретные диоды мало пригодны для подобного упрощённого анализа из-за существенного омического сопротивления. Но он полностью подходит для транзисторов в диодном включении — в них основной ток протекает через коллектор, минуя высокоомный переход база-эмиттерШаблон:Sfn.
Примечания
Источники
- ↑ Постановка и решение задачи - парафраз анализа диодного моста в Gilbert 1990, pp=24-25.
