Русская Википедия:Приподнятый косинус (фильтр)
Фильтр с характеристикой типа «приподнятый косинус» (ФПК) — особый электронный фильтр, часто встречающийся в телекоммуникационных системах благодаря возможности минимизировать межсимвольные искажения (МСИ). Его название происходит из факта, что ненулевая часть частотного спектра его простейшей формы (<math>\beta = 1</math>) представляет собой косинусоиду, приподнятую таким образом, чтобы она «сидела» на горизонтальной оси <math>f</math>.
Математическое описание
ФПК является реализацией ФНЧ Найквиста, то есть обладает свойством частичной симметрии. Это значит, что его спектр обладает нечётной симметрией относительно <math>\frac{1}{2T}</math>, где <math>T</math> длительность символа в системе связи.
Для его описания в частотной области используется кусочная функция, заданная формулой:
- <math>H(f) = \begin{cases}
1.0,
& |f| \leq \frac{1 - \beta}{2T} \\
\frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\frac{\pi T}{\beta}\left[|f| - \frac{1 - \beta}{2T}\right]\right)\right],
& \frac{1 - \beta}{2T} < |f| \leq \frac{1 + \beta}{2T} \\
0,
& \mbox{otherwise}
\end{cases}</math>
- <math>0 \leq \beta \leq 1</math>
и характеризуется двумя величинами; <math>\beta</math> — коэффициент сглаживания, и <math>T</math> — величина обратная символьной скорости.
Импульсный отклик фильтра описывается формулой:
- <math>h(t) = \mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)\frac{\cos\left(\frac{\pi\beta t}{T}\right)}{1 - \frac{4\beta^2 t^2}{T^2}}</math>, в выражении через нормализованные sinc функции.
Коэффициент сглаживания
Коэффициент сглаживания <math>\beta</math> — мера избыточности полосы пропускания фильтра, то есть полоса частот вне полосы Найквиста <math>\frac{1}{2T}</math>. Если обозначить избыточность полосы через <math>\Delta f</math>, то:
- <math>\beta = \frac{\Delta f}{\left(\frac{1}{2T}\right)} = \frac{\Delta f}{R_S/2} = 2T\Delta f</math>
где <math>R_S = \frac{1}{T}</math> — символьная скорость.
На графике показана АЧХ при изменении <math>\beta</math> от 0 до 1, и соответствующее воздействие на импульсный отклик. Как видно, во временной области величина пульсаций увеличивается по мере уменьшения <math>\beta</math>. Это свидетельствует о том, что избыточность полосы фильтра может быть уменьшена, но только за счет удлинения импульсного отклика.
<math>\beta = 0</math>
Как только <math>\beta</math> достигает 0, зона сглаживания становится максимально узкой, следовательно:
- <math>\lim_{\beta \rightarrow 0}H(f) = \mathrm{rect}(fT)</math>
где <math>\mathrm{rect}(.)</math> — прямоугольная функция, импульсный отклик преобразуется к <math>\mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)</math>.
Следовательно, он стремится к идеальному или прямоугольному фильтру в этом случае.
<math>\beta = 1</math>
Когда <math>\beta = 1</math>, ненулевая часть спектра представляет собой чистую приподнятую косинусоиду, что ведет к упрощению:
- <math>H(f)|_{\beta=1} = \left \{ \begin{matrix}
\frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\pi fT\right)\right],
& |f| \leq \frac{1}{T} \\
0,
& \mbox{otherwise}
\end{matrix} \right.</math>
Полоса пропускания
Ширина полосы пропускания ФПК обычно определяется как ширина ненулевой части спектра, то есть:
- <math>BW = R_S(1+\beta)</math>
Применения
Когда используется для фильтрации символьного потока, фильтр Найквиста имеет свойство устранения МСИ, так как его импульсный отклик равен 0 во всех <math>nT</math> (где <math>n</math> — целое), кроме <math>n = 0</math>.
Таким образом, если переданный сигнал корректно дискретизирован в приёмнике, исходные значения символов могут быть восстановлены полностью.
Однако, в большинстве практических систем связи, в приёмнике должен быть использован согласованный фильтр, это обусловлено воздействием белого шума. Это вводит следующие ограничения:
- <math>H_R(f) = H_T^*(f)</math>
то есть:
- <math>|H_R(f)| = |H_T(f)| = \sqrt{|H(f)|}</math>
Для удовлетворения этого условия и сохраняя условие отсутствия МСИ, обычно применяется корень из ФПК на каждом из концов системы связи. В таком случае, общий отклик системы представляет собой приподнятый косинус.
Литература
- Glover, I.; Grant, P. (2004). Digital Communications (2nd ed.). Pearson Education Ltd. ISBN 0-13-089399-4.
- Proakis, J. (1995). Digital Communications (3rd ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5.
Ссылки
