Русская Википедия:Приятельские числа
Шаблон:Distinguish Приятельские числа — это два или более натуральных числа с одинаковым индексом избыточности, отношением суммы делителей чисел и самого числа. Два числа с одинаковой избыточностью образуют приятельскую пару, n чисел с одинаковой избыточностью образуют приятельский n-кортеж.
Быть приятелями является отношением эквивалентности, а потому порождает разбиение положительных натуральных чисел на клубы (классы эквивалентности) попарно приятельских чисел.
Число, не входящее в какую-либо приятельскую пару, называется отшельником.
Индекс избыточности числа n — это рациональное число <math>\sigma(n) / n</math>, в котором <math>\sigma</math> означает сумму делителей. Число n является приятельским, если существует <math>m \ne n</math> такое, что <math>\sigma(m) / m = \sigma(n) / n</math>. Заметим, что избыточность, это не то же самое, что избыток, который определяется как <math>\sigma(n) - 2n</math>.
Избыточность может быть также выражена как <math>\sigma_{-\!1}(n)</math>, где <math>\sigma_k</math> означает функцию делителя с <math>\sigma_{k}(n)</math>, равным сумме k-ых степеней делителей n.
Числа от 1 до 5 являются отшельниками. Наименьшее приятельское число — это 6, образующее пару с числом 28 с индексом избыточности <math>\sigma(6) / 6 = (1+2+3+6) / 6 = 2</math>, что равно <math>\sigma(28) / 28 = (1+2+4+7+14+28) / 28 = 2</math>. Общее значение 2 в этом случае целое, что неверно во многих других случаях. Числа с индексом избыточности 2 известны также как совершенные числа. Имеется ряд нерешённых задач, связанных с приятельскими числами.
Вопреки схожести названий, нет прямой связи приятельских чисел и дружественных чисел или компанейских чисел, хотя определения этих чисел тоже используют функцию делителей.
Примеры
В таблице голубые числа доказанно являются приятельскими (Шаблон:OEIS), красные числа доказанно являются отшельниками (Шаблон:OEIS), числа n, взаимно простые с <math>\sigma(n)</math> (Шаблон:OEIS), здесь не отмечены цветом, хотя они заведомо являются отшельниками. Остальные числа имеют неизвестный статус и выделены Шаблон:Background color.
Другой пример — 30 и 140 образуют приятельскую пару, поскольку 30 и 140 имеют одинаковый индекс избыточности:
- <math> \tfrac{\sigma(30)}{30} = \tfrac{1+2+3+5+6+10+15+30}{30} =\tfrac{72}{30} = \tfrac{12}{5}</math>
- <math> \tfrac{\sigma(140)}{140} = \tfrac{1+2+4+5+7+10+14+20+28+35+70+140}{140} = \tfrac{336}{140} = \tfrac{12}{5}.</math>
Числа 2480, 6200 и 40640 являются членами клуба, так как все три числа имеют индекс избыточности 12/5.
Как пример нечётных приятельских чисел, рассмотрим 135 и 819 (индекс избыточности 16/9). Есть также случаи чётных чисел, приятельских с нечётными, например, 42 и 544635 (индекс 16/7).
Полный квадрат может быть приятельским числом, например, 693479556 (квадрат числа 26334) и число 8640 имеют индекс избыточности 127/36 (этот пример принадлежит Дину Хикерсону).
Числа-отшельники
Числа, принадлежащие клубу из одного элемента, поскольку нет других чисел, приятельских с ними, являются отшельниками. Все простые числа являются отшельниками. Более обще, если числа n и <math>\sigma(n)</math> взаимно просты, то есть наибольший общий делитель этих чисел равен 1, а следовательно, <math>\sigma(n)/n</math> является неприводимой дробью, то число n является отшельником (Шаблон:OEIS). Для простого числа p мы имеем <math>\sigma(p) = p + 1</math>, и это число взаимно просто с p.
Неизвестно никакого метода общего вида, определяющего, является число отшельником или приятельским числом. Наименьшее число, классификация которого неизвестна (на 2009) — число 10. Есть предположение, что оно является отшельником, если это не так, его наименьший друг является довольно большим числом, как у числа 24 — хотя число 24 приятельское, его наименьшим другом является число 91.963.648. Для числа 10 нет приятельского числа, меньшего 2.000.000.000Шаблон:Sfn.
Большие клубы
Открытой проблемой является вопрос, существуют ли бесконечно большие клубы или взаимно приятельские числа. Совершенные числа образуют клуб и есть предположение, что существует бесконечно много совершенных чисел (по меньшей мере столько же, сколько чисел Мерсенна), но доказательств нет. К 2018 году известно 50 совершенных чисел и наибольшее из известных чисел имеет более 46 миллионов цифр в десятичной записи. Существуют клубы с более известными членами, в частности клубы, образованные Шаблон:Не переведено 5, то есть числами, индекс избыточности которых является целым числом. К началу 2013 года клуб приятельских чисел с индексом 9 насчитывал 2094 членовШаблон:Sfn. Хотя известно, что клубы мультисовершенных чисел довольно большие (за исключением самих совершенных чисел), есть предположение, что эти клубы конечны.
Примечания
Литература
Шаблон:Числа по характеристикам делимости Шаблон:Классы натуральных чисел
