Русская Википедия:Проблема Варинга

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Проблема Варинга — теоретико-числовое утверждение, согласно которому для каждого целого <math>n>1</math> существует такое число <math>k=k(n)</math>, что всякое натуральное число <math>N</math> может быть представлено в виде:

<math>x_1^n+x_2^n+\ldots+x_k^n=N\quad</math>

с целыми неотрицательными <math>x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_k</math>.

Как гипотеза предложена в 1770 году Эдуардом Варингом[1], доказана Гильбертом в 1909 году. Уже после доказательства вокруг вопросов, как связанных с доказательством основной проблемы, так и с различными вариантами и обобщениями, проведено значительное количество исследований, в рамках которых получены примечательные результаты и развиты важные методы; в Математической предметной классификации проблеме Варинга и связанным с ней исследованиям посвящён отдельный раздел третьего уровня[2].

Основные результаты

До XX века проблему удавалось решить только в частных случаях, например, теоремой Лагранжа о сумме четырёх квадратов установлено <math>k=4</math> для проблемы в случае <math>n=2</math>.

Первое доказательство справедливости гипотезы было дано в 1909 году Гильбертом[3], оно было весьма объёмным и строилось на сложных аналитических конструкциях, включая пятикратные интегралы.

В 1920 году новое доказательство этой же теоремы дали Харди и Литлвуд, разработав для этого специальный круговой метод[4]. Они ввели две функции — <math>g(n)</math> и <math>G(n)</math>; <math>g(n)</math> — наименьшее <math>k</math> такое, что проблема Варинга разрешима при <math>N\geqslant 1</math>; <math>G(n)</math> — наименьшее <math>k</math> такое, что проблема Варинга разрешима при <math>N\geqslant N_0(n)</math>. (Ясно, что <math>G(n)\leqslant g(n)</math>.) Харди и Литтлвуд дали для <math>G(n)</math> оценку снизу <math>n<G(n)</math>, которая по порядку и по константе в общем случае не улучшена по состоянию на 2010-е годы, и оценку сверху, которая впоследствии была радикально улучшена. Эта функция с тех пор называется функцией Харди. Они также получили асимптотическую формулу для числа решений проблемы Варинга.

Таким образом, в результате исследования проблемы Варинга были разработаны мощные аналитические методы. Однако Линник в 1942 году нашёл доказательство основной теоремы на базе элементарных методов[5].

Функция <math>g(n)</math> известна. Для более фундаментальной функции <math>G(n)</math> получен ряд оценок сверху и снизу, однако её конкретные значения неизвестны даже для малых <math>n</math>.

Функция Шаблон:Math

Иоганн Эйлер, сын Леонарда Эйлера, предположил около 1772 года[6], что:

<math>g(n)=2^n+[(3/2)^n]-2</math>.

В 1940-е годы Леонард Диксон, Шаблон:Нп2, Шаблон:Нп2 и Нивен[7] с учётом результата Шаблон:Нп2[8] доказали, что это верно за исключением конечного числа значений <math>n</math>, превышающих Шаблон:Num. Существует гипотеза, что эта формула верна для всех натуральных чисел.

Несколько первых значений <math>g(n)</math>:

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1 079, 2 132, 4 223, 8 384, 16 673, 33 203, 66 190, 132 055, …[9]

Примечательно, что, например, для <math>n=3</math> только числа 23 и 239 не представимы суммой восьми кубов.

Функция Шаблон:Math

В 1924 году Виноградов применил к проблеме Варинга свой метод тригонометрических сумм[10], это не только сильно упростило доказательство, но и открыло путь к принципиальному улучшению оценки для <math>G(n)</math>. После целого ряда уточнений он в 1959 году доказал, что:

<math>G(n)<2n\log n+4n\log\log n+2n\log\log\log n+13n</math>.

Применяя сконструированную им <math>p</math>-адическую форму кругового метода Харди — Литтлвуда — Рамануджана — Виноградова к оценкам тригонометрических сумм, в которых суммирование ведётся по числам с малыми простыми делителями, Карацуба в 1985 году улучшил[11] эту оценку. При <math>n\geqslant 400</math>:

<math>G(n)<2n\log n+2n\log\log n+12n</math>.

В дальнейшем оценку улучшил Вули, сначала в работе 1992 года[12], затем — в 1995 году[13]:

<math>G(n)\leqslant n\log n+n\log\log n+2+O(n \log\log n/\log n)</math>.

Воган и Вули написали о проблеме Варинга объёмную обзорную статью[14], в которой результат Карацубы, опубликованный в 1985 году, относят к публикации Вогана 1989 года[15].

Границы[14]
Шаблон:Math
Шаблон:Math
Шаблон:Math
Шаблон:Math
Шаблон:Math
Шаблон:Math
Шаблон:Math
Шаблон:Math
Шаблон:Math
Шаблон:Math
Шаблон:Math
Шаблон:Math
Шаблон:Math
Шаблон:Math
Шаблон:Math
Шаблон:Math
Шаблон:Math
Шаблон:Math
Шаблон:Math

Фактически величина <math>G(n)</math> известна только для 2 значений аргумента, именно <math>G(2)=4</math> и <math>G(4)=16</math>.

Сумма квадратов: G(2)

Шаблон:Main В соответствии с теоремой Лагранжа любое натуральное число можно представить в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Также легко показать, что числа, дающие остаток 7 при делении на 8, не представимы в виде суммы менее чем 4 квадратов. Таким образом <math>G(2)=4</math>.

Сумма кубов: G(3)

Легко доказать, что <math>G(3)\geqslant 4</math>. Это следует из того, что кубы всегда сравнимы с 0, 1 или −1 по модулю 9.

Линник доказал, что <math>G(3)\leqslant 7</math> в 1943 году[5]. Компьютерные эксперименты позволяют предположить, что эта оценка может быть улучшена до 4 (то есть <math>G(3)=4</math>), так как из чисел, меньших 1.3Шаблон:E, последнее число, которое потребует шесть кубов это Шаблон:Num, и количество чисел между N и 2N, требующих пять кубов, падает при увеличении N с достаточно большой скоростью[16]. Наибольшее известное число, которое, возможно, не представимо в виде суммы четырёх кубов, это Шаблон:Num, и есть основания думать, что это наибольшее такое число[17]. Любое неотрицательное число можно представить в виде 9 кубов, и существует гипотеза, что наибольшие числа, требующие минимум 9, 8, 7, 6 и 5 кубов, это 239, 454, 8042, Шаблон:Num и Шаблон:Num[18] соответственно, а их количество — 2, 17, 138, 4060, Шаблон:Num[18] соответственно.

Сумма четвёртых степеней: G(4)

Известно значение для <math>G(4)</math> — это 16. Этот результат доказал в 1930-е годы Дэвенпорт[19].

  • Для чисел вида 31·16n необходимо по крайней мере шестнадцать четвёртых степеней.
  • Число Шаблон:Num требует 19 четвёртых степеней.
  • Число Шаблон:Num требует 17 четвёртых степеней.

Любое число, большее Шаблон:Num, может быть представлено в виде суммы не более чем шестнадцати четвёртых степеней. Это было доказано для чисел, меньших 10245 в 2000 году[20], а для остальных чисел в 2005 году[21] улучшением результата Дэвенпорта.

Сумма пятых степеней: G(5)

Шаблон:Num — это последнее число, меньшее 1.3Шаблон:E, которое потребует 10 пятых степеней, и Шаблон:Num — это последнее число, меньшее 1.3Шаблон:E, которое потребует 11. На основании компьютерных экспериментов есть основания полагать, что <math>G(5)<G(4)</math>.

Помимо точных значений <math>G(n)</math> открытым остаётся вопрос и о числе решений проблемы Варинга при заданных параметрах и ограничениях. В посвящённых этому вопросу работах возможны формулировки вида: «проблема Варинга для 9 кубов с почти равными слагаемыми»[22].

Обобщения

Проблема Варинга — Гольдбаха

Проблема Варинга — Гольдбаха ставит вопрос о представимости целого числа суммой степеней простых чисел, по аналогии с проблемой Варинга и проблемой Гольдбаха.

Хуа Ло-кен, используя улучшенные методы Харди — Литлвуда и Виноградова, получил для числа простых слагаемых оценку сверху <math>O(n^2\log n)</math>[23].

На официальном сайте механико-математического факультета МГУ по состоянию на 2014 год утверждается, полное решение проблемы Варинга — Гольдбаха в 2009 году нашёл Чубариков[24], однако в единственной статье 2009 года[25] даётся решение задачи, лишь в некотором смысле сходной с проблемой Варинга — Гольдбаха[26].

Точность представления целого числа суммой степеней

Обобщением проблемы Варинга можно считать вопрос о точности представления целого числа суммой степеней целых, не решенный даже для степени равной <math>2</math>.

Все натуральные числа, за исключением чисел вида <math>4^m(8n+7),\;m,\;n=0,\;1,\;2,\;\ldots,</math> представимы в виде <math>x^2+y^2+z^2</math>. Естественно возникает вопрос: как близко к заданному числу <math>N</math> можно подойти суммой двух квадратов целых чисел? Так как <math>(n+1)^2-n^2=2n+1</math> и правая часть этого равенства имеет порядок корня квадратного из <math>n^2</math>, то одним квадратом можно подойти к <math>N</math> на расстояние порядка <math>N^{1/2}</math>. Следовательно, суммой двух квадратов можно подойти к <math>N</math> на расстояние порядка <math>N^{1/4}</math>. А можно ли подойти ближе? Со времен Эйлера стоит эта задача «без движения», хотя есть гипотеза о том, что

<math>\min_{x,\;y\in Z}|N-x^2-y^2|\leqslant N^\varepsilon,</math>

где <math>\varepsilon>0,\;\varepsilon</math> — любое, <math>N\geqslant N_1(\varepsilon)</math>. Заменить <math>1/4</math> в предыдущем рассуждении на <math>1/4-c</math> со сколь угодно малым фиксированным <math>c>0</math>, не удаётся, и эта, на первый взгляд, простая задача не продвигается с середины XVIII века[27].

Многомерный аналог проблемы Варинга

В своих дальнейших исследованиях по проблеме Варинга Карацуба получил[28][29] двумерное обобщение этой проблемы. Рассматривается система уравнений:

<math>x_1^{n-i}y_1^i+\ldots+x_k^{n-i}y_k^i=N_i,\quad i=0,\;1,\;\ldots,\;n</math>,

где <math>N_i</math> — заданные положительные целые числа, имеющие одинаковый порядок роста, <math>N_0\to+\infty</math>, а <math>x_{\varkappa},\;y_{\varkappa}</math> — неизвестные, но также положительные целые числа. Согласно двумерному обобщению, эта система разрешима, если <math>k>cn^2\log n</math>, а если <math>k<c_1n^2</math>, то существуют такие <math>N_i</math>, что система не имеет решений.

Родственные задачи

В теории диофантовых уравнений близкими к проблеме Варинга являются задачи представления натурального числа суммой значений многочлена одной переменной и однородным многочленом нескольких переменных. Известно, что любое натуральное число представимо суммой трёх треугольных чисел <math>T_n={n+1 \choose 2} </math>, а все достаточно большие нечётные целые представимы трёхчленной квадратичной формой Рамануджана <math>x^2+y^2+10z^2</math>. Согласно теореме Лагранжа о сумме четырёх квадратов и теореме Лежандра о трёх квадратах и для того, и для другого требуется сумма не менее четырёх квадратов.

Проблемой Варинга в научных статьях могут называться и более частные задачи[30].

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Wikisource

Внешние ссылки

  1. ↑ Waring E. Meditationes algebraicae. — Cambridge, 1770.
  2. ↑ 11P05 Waring’s problem and variants // Mathematical Subject Classification, 2010 Шаблон:Wayback
  3. ↑ Hilbert D. Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem) // Mathematische Annalen, 67, pages 281—300 (1909)
  4. ↑ Hardy G. H., Littlwood J. E. // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. p. 33—54. IV: Math. Z., 1922, № 12, p. 161—188.
  5. ↑ 5,0 5,1 Линник Ю. В. Элементарное решение проблемы Waring’a по методу Шнирельмана // Мат. сб., 1943, т. 12, № 54, с. 218—230.
  6. ↑ Л. Эйлер Opera postuma (1), 203—204 (1862)
  7. ↑ Шаблон:Статья
  8. ↑ Шаблон:Статья
  9. ↑ Шаблон:OEIS
  10. ↑ Виноградов И. М. К вопросу о верхней границе для G(n) // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1959, т. 23, № 5, с. 637—642.
  11. ↑ Шаблон:Статья
  12. ↑ Wooley T. D. Large improvements in Waring’s problem // Ann. of Math. 135 (1992), 131—164.
  13. ↑ Wooley T. D. New estimates for smooth Weyl sums // J. London Math. Soc. (2) 51 (1995), 1-13.
  14. ↑ 14,0 14,1 Шаблон:Книга
  15. ↑ Vaughan R. C. A new iterative method in Waring’s problem // Acta Math. 162 (1989), 1—71.
  16. ↑ Шаблон:Harvtxt
  17. ↑ Шаблон:Статья
  18. ↑ 18,0 18,1 Шаблон:Книга
  19. ↑ Davenport H. // Ann. of Math., 1939, № 40, p. 731—747
  20. ↑ Шаблон:Статья
  21. ↑ Шаблон:Статья
  22. ↑ Мирзоабдугафуров К. И. Проблема Варинга для 9 кубов с почти равными слагаемыми Шаблон:Wayback. — Диссертация … кандидата физико-математических наук.
  23. ↑ Hua Lo Keng Additive theory of prime numbers // Translations of Mathematical Monographs, 13, American Mathematical Society, Providence, R. I., 1965, xiii+190 pp.
  24. ↑ Шаблон:Cite web
  25. ↑ Чубариков В. Н. К проблеме Варинга — Гольдбаха // Доклады Академии наук. — 2009. Т. 427, № 1, с. 24—27
  26. ↑ Рецензия: Zbl 1220.11128
  27. ↑ Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11, с.22
  28. ↑ Шаблон:Статья
  29. ↑ Шаблон:Статья
  30. ↑ О проблеме Варинга для тернарной квадратичной формы и произвольной четной степени

Шаблон:Выбор языка

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Проблема_Варинга&oldid=10649042