Русская Википедия:Проблема Гильберта — Арнольда
Шаблон:Hatnote Проблема Гильберта — Арнольда в теории динамических систем относится к классу задач, связанных с оценкой числа предельных циклов. В ней требуется доказать, что в типичном конечно-параметрическом семействе гладких векторных полей на сфере с компактной базой параметров число предельных циклов равномерно ограничено по всем значениям параметра. Данная проблема исторически связана с 16-й проблемой Гильберта. В настоящий момент (2009) решены только некоторые упрощенные версии проблемы Гильберта — Арнольда.
Математический контекст и постановка задачи
Напомним один из вариантов 16-й проблемы Гильберта. Рассмотрим систему полиномиальных дифференциальных уравнений на плоскости Шаблон:Формула где <math>P_n</math>, <math>Q_n</math> — многочлены степени не выше <math>n</math>.
Шаблон:Problem Доказать, что для всякого <math>n\in \mathbb N</math> существует такое число <math>H(n)<\infty</math>, что любая система вида (*) обладает не более чем <math>H(n)</math> предельными циклами. Русская Википедия:Проблема Гильберта — Арнольда/problem
Числа <math>H(n)</math> называются числами Гильберта для предельных циклов.
Для дальнейшего, нам будет удобно перейти к компактному фазовому пространству и компактной базе параметров. Для этого мы используем приём, известный как компактификация Пуанкаре. Продолжая полиномиальное векторное поле на плоскости до аналитического поля направлений на проективной плоскости мы компактифицируем базу параметров, а затем используя центральную проекцию сферы на проективную плоскость, получаем аналитическое поле направлений на сфере (с конечным числом особых точек). Тем самым, в пространстве всех аналитических полей направлений на сфере выделяется конечно-параметрическое семейство полей с компактной базой параметров, порождаемых полиномиальными системами заданной степени. При этом экзистенциальная проблема Гильберта становится частным случаем следующей (более сильной) гипотезы: Шаблон:Problem В любом конечно-параметрическом аналитическом семействе аналитических векторных полей на сфере с компактной базой параметров <math>B</math> число предельных циклов равномерно ограничено при всех значениях параметра <math>\varepsilon\in B</math>. Русская Википедия:Проблема Гильберта — Арнольда/problem
Полиномиальные векторные поля представляют собой естественный пример конечно-параметрического семейства, и на момент постановки 16-й проблемы Гильберта это было, вероятно, единственным известным явным семейством такого рода. Однако со временем подходы изменились, и внимание математиков стали привлекать вопросы не о конкретном семействе, а о свойствах типичных семейств из некоторого класса. В ходе работы над обзором Шаблон:Lcite (1986), В. И. Арнольд предложил рассматривать конечно-параметрические семейства гладких векторных полей и сформулировал несколько гипотез на эту тему.
Какие содержательные вопросы можно задавать о предельных циклах в типичных конечно-параметрических семействах? Очевидно, прямой аналог 16-й проблемы Гильберта в данном случае не имеет смысла: у типичной гладкой системы на сфере может быть сколь угодно большое число гиперболических предельных циклов, не разрушаемых малым шевелением, а значит спрашивать о верхней оценке на число предельных циклов в типичном семействе бессмысленно. Однако, гладкий аналог гипотезы глобальной конечности имеет смысл. Он был сформулирован явно Ю. С. Ильяшенко Шаблон:Lcite и получил название проблемы Гильберта — Арнольда: Шаблон:Problem В любом типичном конечно-параметрическом семействе гладких векторных полей на сфере с компактной базой параметров число предельных циклов равномерно ограничено при всех значениях параметра. Русская Википедия:Проблема Гильберта — Арнольда/problem Аналитические семейства весьма сложны для изучения — например, они не допускают локальных возмущений в окрестности точки, поэтому нет оснований считать, что решение проблемы Гильберта — Арнольда само по себе позволит доказать гипотезу глобальной конечности, а с ней и 16-ю проблему Гильберта. Однако, исследователи полагают, что изучение гладких векторных полей может дать полезные идеи по поводу 16-й проблемы, а также представляет собой самостоятельную содержательную задачу.
Локальная проблема Гильберта — Арнольда
Благодаря компактности базы параметров и фазового пространства, мы можем свести проблему Гильберта — Арнольда к локальной проблеме изучения бифуркаций специальных вырожденных векторных полей. Напомним необходимые определения. Шаблон:Definition Полициклом векторного поля называется циклически занумерованный набор особых точек <math>p_1,\ldots,p_n</math> (возможно, с повторениями) и набор дуг фазовых кривых <math>\gamma_1,\ldots,\gamma_n</math> (без повторений), последовательно соединяющих указанные особые точки — то есть дуга <math>\gamma_j</math> соединяет точки <math>p_j</math> и <math>p_{j+1}</math>, где <math>p_{n+1}\equiv p_1</math>, <math>j = 1,\ldots,n</math>. Русская Википедия:Проблема Гильберта — Арнольда/definition Определим «цикличность полицикла», то есть количество предельных циклов, рождающихся при его бифуркации: Шаблон:Definition Рассмотрим некоторое семейство векторных полей <math>\{v_\varepsilon(x)\}_{\varepsilon\in B^k}</math>. Пусть при <math>\varepsilon=\varepsilon_*</math> система имеет полицикл <math>\gamma</math>. Цикличностью полицикла <math>\gamma</math> в семействе <math>\{v_\varepsilon\}</math> называется такое минимальное число <math>\mu</math>, что найдется такая окрестность полицикла <math>U\supset \gamma</math> и такая окрестность <math>V</math> критического значения параметра (<math>\mathbb R^k \supset V \ni \varepsilon_*</math>), что для всех <math>\varepsilon \in V</math> в области <math>U</math> одновременно существует не более <math>\mu</math> предельных циклов, причем хаусдорфово расстояние между этими циклами и <math>\gamma</math> стремится к нулю при <math>\varepsilon \to \varepsilon_*</math>. Русская Википедия:Проблема Гильберта — Арнольда/definition Таким образом, цикличность зависит не только от векторного поля, содержащего полицикл, но и от семейства, в которое оно включается.
Шаблон:Definition Бифуркационным числом <math>B(k)</math> называется максимальная цикличность нетривиального полицикла в типичном <math>k</math>-параметрическом семействе гладких векторных полей на сфере. Русская Википедия:Проблема Гильберта — Арнольда/definition
Определение бифуркационного числа уже не зависит от семейства, а только от размерности пространства параметров. Сформулируем локальную проблему Гильберта — Арнольда:
Шаблон:Problem Доказать, что для всякого <math>k>0</math> существует <math>B(k)<\infty</math>, и найти явную верхнюю оценку. Русская Википедия:Проблема Гильберта — Арнольда/problem Из соображений компактности следует, что если в некотором семействе число предельных циклов не ограничено, то они обязаны накапливаться к какому-то полициклу, имеющему тем самым бесконечную цикличность. Таким образом, решение локальной проблемы Гильберта — Арнольда влечет за собой решение глобальной.
Локальная проблема Гильберта — Арнольда решена для <math>k=1</math> и <math>k=2</math> (<math>B(1)=1</math>, <math>B(2)=2</math>). Для <math>k=3</math> существует стратегия решения, но она в настоящий момент не завершена. Применение этой же стратегии для оценки <math>B(4)</math> представляется совершенно безнадежной задачей. Основные результаты в этой области для произвольных <math>k</math> получены для упрощенной версии локальной проблемы Гильберта—Арнольда, в которой рассматриваются только полициклы, содержащие лишь элементарные особые точки. Шаблон:Definition Особая точка называется элементарной, если её матрица линеаризации имеет хотя бы одно ненулевое собственное значение. Полицикл называется элементарным , если все его вершины являются элементарными особыми точками.
Элементарным бифуркационным числом <math>E(k)</math> называется максимальная цикличность элементарного полицикла в типичном <math>k</math>-параметрическом семействе. Русская Википедия:Проблема Гильберта — Арнольда/definition Шаблон:Theorem Для всякого <math>k>0</math> существует <math>E(k)<\infty</math>. Русская Википедия:Проблема Гильберта — Арнольда/theorem Шаблон:Theorem Для всякого <math>k>0</math> справедлива оценка <math>E(k)<25^{k^2}</math>. Русская Википедия:Проблема Гильберта — Арнольда/theorem
Литература
- [AAIS] Шаблон:Статья:ААИШ-ДС5
- [I94] Шаблон:Статья
- [IYa] Шаблон:Статья
- [K01] Шаблон:Статья
- [IK] Шаблон:Статья
- [K] Шаблон:Статья
Шаблон:Вклад Давида Гильберта в науку
