Русская Википедия:Проблема круга Гаусса
Проблема круга Гаусса — задача определения количества точек целочисленной решётки, попадающих в круг радиуса r с центром в начале координат. Первый успех в решении этой задачи был сделан Гауссом, в честь него и названа проблема.
Проблема
В круге в <math>\mathbb{R}^2</math>с центром в начале координат радиусом <math>r\geqslant 0</math> необходимо определить количество точек внутри круга, имеющих вид (m,n), где m и n — целые числа. Поскольку в декартовых координатах уравнение круга задается формулой: x2 + y2 = r2, эквивалентной формулировкой задачи станет вопрос: какое количество пар целых чисел m и n удовлетворяет неравенству
- <math>m^2+n^2\leqslant r^2.</math>
Если для заданного r обозначить искомое значение через N(r), то следующий список дает значения N(r) для значений целого радиуса r между 0 и 10:
- 1, Шаблон:Nums (Шаблон:OEIS).
Границы значений и гипотезы
Поскольку площадь круга радиуса r задается формулой πr2, то следовало бы ожидать, что число точек будет около πr2. На самом деле значение слегка больше этой величины на некоторую поправку E(r)
- <math>N(r)=\pi r^2 +E(r)</math>
Поиск верхней границы этой поправки и составляет суть проблемы.
Гаусс показал[1], что
- <math>E(r)\leqslant 2\sqrt{2}\pi r.</math>
Харди[2] и, независимо, Эдмунд Ландау нашли меньшее значение границы, показав, что
- <math>E(r)\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),</math>
в нотации o-малое. Существует гипотеза[3], что истинное значение равно
- <math>E(r)=O\left(r^{1/2+\varepsilon}\right).</math>
Если переписать последнее выражение в виде <math>\|E(r)\|\leqslant Cr^t</math>, то текущие границы числа t равны
- <math>\frac{1}{2}< t\leqslant\frac{131}{208}=0{,}6298\ldots,</math>
где нижняя граница выведена Харди и Ландау в 1915 году, а верхняя доказана Мартином Хаксли (Martin Huxley) в 2000 году[4].
В 2007 году Силвейн Кэппелл (Sylvain Cappell) и Юлиус Шейнисон (Julius Shaneson) выложили в arXiv статью, содержащую доказательство границы <math>O(r^{\frac{1}{2}+\epsilon})</math>[5].
Точное представление
Значение N(r) можно представить как сумму некоторых последовательностей. Если использовать функцию округления вниз, то значение может быть выражено как[6]
- <math>N(r)=1+4\sum_{i=0}^\infty \left(\left\lfloor\frac{r^2}{4i+1}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{r^2}{4i+3}\right\rfloor\right).</math>
Много проще выглядит представление с использованием функции r2(n), которая определяется как количество способов представить число n в виде суммы двух квадратов. В этом случае[1]
- <math>N(r)=\sum_{n=0}^{r^2} r_2(n).</math>
Обобщения
Хотя начальная формулировка задачи говорила о целочисленных решетках в круге, нет причин останавливаться только на круге. Можно ставить задачу нахождения числа точек решетки в других фигурах или конусах. «Проблема делителей» Дирихле эквивалентна данной задаче при замене круга гиперболой[3]. Можно также распространить задачу на большие размерности, и говорить о числе точек внутри n-мерной сферы или другого объекта. Можно отказаться от геометрического представления проблемы и перейти к диофантовым неравенствам.
Проблема круга для взаимно простых чисел
Другим обобщением может служить вычисление количества взаимно простых целых решений m и n уравнения
- <math>m^2+n^2\leqslant r^2.</math>
Эта задача известна как проблема круга для взаимно простых чисел или проблема круга для примитивных чисел[7] Если обозначить число таких решений через V(r), то V(r) для малых целых значений радиуса r равны
- 0, Шаблон:Nums, … Шаблон:OEIS.
Используя те же самые идеи, что и для обычной проблемы Гаусса, и исходя из факта, что вероятность взаимной простоты двух чисел равна 6/π2, относительно легко показать, что
- <math>V(r)=\tfrac{6}{\pi}r^2+O(r^{1+\varepsilon}).</math>
Как и в обычной постановке, задача для взаимно простых чисел заключается в уменьшении показателя экспоненты в поправке. На настоящее время лучшим известным показателем является <math>\tfrac{221}{304}+\epsilon</math>, если принять гипотезу Римана[7]. Без принятия гипотезы Римана наилучшей верхней границей является
- <math>V(r)=\tfrac{6}{\pi}r^2+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log\log r^2)^{-1/5}))</math>
для некоторой положительной постоянной c[7].
В частности, неизвестны границы поправки вида <math>1-\epsilon</math> для любого <math>\epsilon > 0</math>, если не принимать гипотезу Римана.
См. также
Примечания
Ссылки
- ↑ 1,0 1,1 G.H. Hardy, Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, (1999), p.67.
- ↑ G.H. Hardy, On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares, Quart. J. Math. 46, (1915), pp.263—283.
- ↑ 3,0 3,1 R.K. Guy, Unsolved problems in number theory, Third edition, Springer, (2004), pp.365—366.
- ↑ M.N. Huxley, Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function, Number theory for the millennium, II (Urbana, IL, 2000) pp.275—290, A K Peters, Natick, MA, 2002, Шаблон:MR.
- ↑ S. Cappell and J. Shaneson, Some Problems in Number Theory I: The Circle Problem, Шаблон:Arxiv, (2007).
- ↑ D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination, New York: Chelsea, (1999), pp.37—38.
- ↑ 7,0 7,1 7,2 J. Wu, On the primitive circle problem, Monatsh. Math. 135 (2002), pp.69—81.