Русская Википедия:Проблема червя Мозера
Проблема червя Мозера — это открытая проблема в геометрии, сформулированная австрийско-канадским математиком en (Leo Moser) в 1966 году. Задача состоит в поиске области наименьшей площади, покрывающую любую плоскую кривую длины 1. Здесь «покрыть» означает, что кривая может быть повёрнута и перенесена параллельно, чтобы поместиться внутри области. В некоторых вариантах задачи область должна быть выпукла.
Примеры
Например, диск радиуса 1/2 может вместить любую кривую длины 1, если разместить середину кривой в центре диска. Другое возможное решение имеет форму ромба с углами 60 и 120 градусов (<math>\pi /3</math> и <math>2\pi/3</math> радиан) в вершинах и с длинной диагональю единичной длиныШаблон:Sfn. Но это не оптимальные решения, известны другие фигуры, которые решают задачу с меньшей площадью
Свойства решения
Не тривиален факт, что решение существует — другой возможностью может быть существование минимальной области, к которой можно приблизиться в пределе, но не получить фактически. Однако, в выпуклом случае существование решения следует из теоремы выбора Бляшке.[1]
Также нетривиально определить, образует ли заданная форма решение задачи. Герриетс и ПуулШаблон:Sfn высказали предположение, что форма покрывает любую кривую единичной длины тогда и только тогда, когда покрывает любую ломаную линию единичной длины из трёх отрезков, но Панракса, Ветцель и ВичирамалаШаблон:Sfn показали, что никакое ограниченное число отрезков в ломаной не подходит для такого теста.
Известные границы
Проблема остаётся открытой, но в ряде статей исследователи сузили разницу между известными нижней и верхней границами. В частности, Норвуд и ПуулШаблон:Sfn построили (невыпуклое) универсальное покрытие и показали, что минимальная фигура имеет площадь не больше 0,260437Шаблон:Sfn а Торвуд, Пуул и ЛейдакерШаблон:Sfn дали более низкую верхнюю границу. Для случая выпуклой фигуры ВангШаблон:Sfn улучшил верхнюю границу до 0,270911861. Хандхавит, Пагонакис и СрисвасдиШаблон:Sfn использовали стратегию минимакса для площади выпуклого множества, содержащего отрезок, треугольник и прямоугольник, чтобы показать, что нижней границей для выпуклого случая является 0,232239.
В 1970-х годах Джон Ветцель высказал гипотезу, что круговой сектор в 30 градусов единичного диаметра является искомым покрытием с площадью <math>\pi/12 \approx 0{,}2618</math>. О доказательстве гипотезы независимо объявили Мовшович и ВетцельШаблон:Sfn и Панракса и ВичирамалаШаблон:Sfn. Если доказательства будут подтверждены, верхняя граница для выпуклых покрывающих областей будет уменьшена примерно на 3 %.
См. также
- Задача о перемещении дивана, задача поиска фигуры наибольшей площади, которую можно переместить по коридору, имеющему излом под прямым углом (диван можно переносить параллельно и вращать).
- Задача об иголке, множество минимальной площади, которое может вместить любой отрезок единичной длины (допускается параллельный перенос, но не поворот)
- Задача Лебега, найти выпуклую фигуру наименьшей площади, которая может закрыть любое плоское множество единичного диаметра.
- Шаблон:Нп5, найти кратчайший путь, чтобы выйти из леса, когда форма и размер леса человеку известны.
Примечания
Литература
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- ↑ Норвуд, Пуул и Лейдакер (Шаблон:Harvtxt) приписывают это наблюдение неопубликованной работе Лейдакера и Пуула 1986 года.
