Русская Википедия:Проблема якобиана
Проблема якобиана — проблема о свойствах полиномов нескольких переменных.
Условия
Рассмотрим набор полиномов с комплексными коэффициентами от переменных <math>\overline{X} = X_1, X_2, ..., X_N</math>:
- <math>f_1, f_2, ..., f_N \in \Complex [X_1, X_2, ..., X_N] \qquad (1)</math>
Предположим, что для любого набора <math>(b_1, b_2, ..., b_N) \in \Complex^N</math> система уравнений
- <math>f_1=b_1, f_2=b_2, ..., f_N=b_N</math>
имеет единственное решение <math>(a_1, a_2, ..., a_N) \in \Complex^N</math> и существуют такие многочлены
- <math>g_1, g_2, g_3, ... g_N \in \Complex [X_1, X_2, ..., X_N]</math>,
что каждое <math>a_i=g_i(b_1, b_2, ..., b_N)</math>. Предполагается, что многочлены <math>g_1, g_2, ..., g_N</math> не зависят от набора свободных членов <math>(b_1, b_2, ..., b_N) \in \Complex^N</math>. Это эквивалентно тому, что каждый многочлен из <math>\Complex [X_1, X_2, ..., X_N]</math> однозначно представляется в виде многочлена от <math>f_1, f_2, ... f_N</math> (и от <math>g_1, g_2, ... g_N</math>). Система (1) задаёт полиномиальное отображение <math>f: \Complex^N \rightarrow \Complex^N</math>, при котором
- <math>f(a_1, ..., a_N)=(f_1(a_1, ..., a_N), f_2(a_1, ..., a_N), ..., f_N(a_1, ..., a_N))=(b_1, b_2, ..., b_N) \in \Complex^N \qquad (2)</math>.
Отображение <math>f</math> является взаимно однозначным. Кроме того, обратное отображение <math>f^{-1}</math>, переводящее <math>(b_1, b_2, ..., b_N) \in \Complex^N</math> в
- <math>f^{-1}(b_1, ..., b_N)=(g_1(b_1, ..., b_N), g_2(b_1, ..., b_N), ..., g_N(b_1, ..., b_N))=(a_1, a_2, ..., a_N) \in \Complex^N</math>
также является полиномиальным.
Сопоставим произвольному полиномиальному отображению вида (2) квадратную матрицу (якобиан отображения <math>f</math>) <math>J(f)(\overline{X})</math> размера <math>N</math>, в которой на месте <math>(i, j)</math> стоит частная производная <math>\partial f_i / \partial X_J</math>. Зададим другое полиномиальное отображение <math>h: \Complex^N \rightarrow C^N</math> и рассмотрим их композицию <math>fh</math>, матрица Якоби которой равна
- <math>J(fh)(\overline{X})=J(f)(h(\overline{X}))J(h)(\overline{X})</math>.
Вычисляя определители, получаем, что
- <math>\det(J(fh))(\overline{X})=\det(J(f))(h(\overline{X})) \det (J(h))(\overline{X})</math>.
В частности, если заданы полиномиальные отображения <math>f</math> и <math>f ^{-1}</math>, то их композиция является тождественным отображением. Поэтому единичная матрица <math>E=J(f^{-1}f)(\overline{X})=J(f^{-1})(f(\overline{X}))J(f)(\overline{X})</math>, тогда при переходе к определителю единица равна произведению многочленов, следовательно, эти многочлены равны константам, в частности,
- <math>\det(J(f))(\overline{X})</math>
является ненулевой константой.
Формулировка
Проблема якобиана состоит в решении обратной задачи. Пусть задано полиномиальное отображение <math>f</math> вида (2), причем <math>\det(J(f))</math> является ненулевой константой. Верно ли, что существует обратное полиномиальное отображение? Можно ли представить каждый многочлен из <math>C[X_1, X_2, ..., X_N]</math> в виде многочлена от <math>f_1,f_2, ...,f_n</math>?
Результаты
До 2022 года проблема была решена для случая, когда <math>N = 2</math> и степени <math>f_1, f_2</math> не выше 150, а также если <math>N</math> любое, но степени всех многочленов <math>f_1, f_2 , ..., f_N</math> не выше 2.[1] Кроме того, для доказательства общего утверждения, достаточно было доказать его для случая, когда каждое <math> f_i </math> является многочленом степени не выше 3[1].
Примечания
Литература
- В. А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 3, с. 110—113;
