Русская Википедия:Проблемы Ландау

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

На Международном конгрессе математиков 1912 года Эдмунд Ландау перечислил четыре главные проблемы в теории простых чисел. Эти проблемы были выражены в его докладе как «неприступные при текущем состоянии математики» и они известны теперь как проблемы Ландау.

  1. Гипотеза Гольдбаха: Можно ли любое целое чётное число, большее 4, записать в виде суммы двух простых?
  2. Гипотеза о числах-близнецах: Бесконечно ли число простых p таких, что p + 2 тоже простое?
  3. Гипотеза Лежандра: Всегда ли существует по меньшей мере одно простое число, лежащее между двумя последовательными полными квадратами?
  4. Существует ли бесконечно много простых чисел p, для которых p − 1 является полным квадратом? Другими словами, бесконечно ли количество простых чисел вида n2 + 1? (Шаблон:OEIS).

Все четыре проблемы Шаблон:На остаются открытыми.

Продвижение в направлении решения проблем

Гипотеза Гольдбаха

Теорема Виноградова доказывает слабую гипотезу Гольдбаха для достаточно большого n. В 2013 Харальд Хельфготт доказал слабую гипотезу для всех нечётных чисел больших 5[1]. В отличие от проблемы Гольдбаха, слабая гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое нечётное число, большее 5, может быть выражено в виде суммы трёх простых чисел. Хотя сильная гипотеза Гольдбаха ни доказана, ни опровергнута, из её доказательства вытекало бы доказательство слабой гипотезы.

Теорема Чэня доказывает, что для всех достаточно больших n <math>2n=p+q</math>, где p простое, а q либо простое, либо полупростое. Монтгомери и Воган показали, что чётные числа, не представимые в виде суммы двух простых, имеет плотность нульШаблон:Sfn.

В 2015 Томохиро Ямада доказал явную версию теоремы Чэня[2]: любое чётное число, большее <math>e^{e^{36}} \approx 1.7\cdot10^{1872344071119348}</math>, является суммой простого числа и произведения не более чем двух простых.

Гипотеза о числах-близнецах

Чжан ИтанШаблон:Sfn показал, что существует бесконечно много простых пар с промежутком, ограниченным 70 миллионами, и этот результат был улучшен до промежутка длиной 246 при объединении с Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn. При принятии обобщённой гипотезы Эллиота — Халберстама оценка улучшается до 6 (МейнардШаблон:Sfn, Голдстон, Пинц и ЙылдырымШаблон:Sfn).

Чэнь показал, что имеется бесконечно много простых чисел p (позднее названных простыми числами Чэня), таких, что p+2 является простым или полупростым.

Гипотеза Лежандра

Достаточно проверить, что каждый промежуток между простыми числами, большими p, меньше величины <math>2 \sqrt p</math>. Таблица максимальных промежутков между простыми числами показывает, что гипотеза верна вплоть до 4×1018Шаблон:Sfn. Контрпример около 1018 должен иметь промежуток в пятьдесят миллионов раз больше среднего промежутка. Матомаки показал, что существует не более <math>x^{1/6}</math> нарушающих гипотезу примеров с последующим промежутком, большим <math>\sqrt{2p}</math>. В частности,

<math>\sum_{\stackrel{p_{n+1}-p_n>x^{1/2}}{x\le p_n\le 2x}}p_{n+1}-p_n\ll x^{2/3}.</math>Шаблон:Sfn.

Результат Ингема показывает, что существует простое между <math>n^3</math> и <math>(n+1)^3</math> для любого достаточно большого nШаблон:Sfn.

Почти квадратные простые числа

Теорема Фридландера — Иванеца показывает, что бесконечно большое количество простых чисел имеют вид <math>x^2+y^4</math>Шаблон:Sfn.

Иванец показал, что существует бесконечное количество чисел вида <math>n^2+1</math> с максимум двумя простыми делителямиШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Анкени доказал, что при верности обобщённой гипотезы Римана для L-функций на Шаблон:Не переведено 5 существует бесконечно много простых чисел вида <math>x^2+y^2</math> с <math>y=O(\log x)</math>Шаблон:Sfn.

Дешуиллерс и ИванецШаблон:Sfn, улучшив результат ХулиШаблон:Sfn и ТоддаШаблон:Sfn, показали, что существует бесконечно много чисел вида <math>n^2+1</math> с бо́льшим простым множителем по меньшей мере <math>n^{1.2}</math>. Если заменить показатель на 2, получим утверждение гипотезы.

В обратную сторону, Шаблон:Не переведено 5 показывает, что существует <math>O(\frac{\sqrt x}{\log x})</math> таких простых, меньших x.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Ссылки

Шаблон:Гипотезы о простых числах Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑
  2. ↑ *Шаблон:Cite arXiv
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Проблемы_Ландау&oldid=10649113