Русская Википедия:Программа минимальных моделей
Программа минимальных моделей — это часть бирациональной классификации алгебраических многообразий. Её цель — построение как можно более простой бирациональной модели любого комплексного проективного многообразия. Предмет основывается на классической бирациональной геометрии поверхностей, изучаемой итальянской школой и в настоящее время находящейся в активном изучении.
Основные принципы
Основная идея теории заключается в упрощении бирациональной классификации многообразий путём нахождения в каждом классе бирациональной эквивалентности многообразия, которое «так просто, насколько это возможно». Точное значение этой фразы развивается вместе с развитием самой теории. Первоначально для поверхностей это значило нахождение гладкого многообразия <math>X</math>, для которого любой бирациональный Шаблон:Не переведено 5 <math>f: X \rightarrow X'</math> с гладкой поверхностью <math>X'</math> является изоморфизмом.
В современной формулировке целью теории является следующее. Предположим, что нам задано проективное многообразие <math>X</math>, которое, для простоты, предполагается несингулярным. Возможны два варианта:
- Если <math>X</math> имеет Шаблон:Не переведено 5 <math>\kappa(X,K_X)=-\infty</math>, мы хотим найти многообразие <math>X^\prime</math>, бирациональное к <math>X</math>, и морфизм <math>f: X' \rightarrow Y</math> в проективное многообразие <math>Y</math>, такое, что <math>\mathrm{dim} Y < \mathrm{dim} X^\prime</math>, с Шаблон:Не переведено 5 <math>-K_F</math> слоя общего вида <math>F</math>, являющегося обильным. Такой морфизм называется пространством расслоения Фано.
- Если <math>\kappa(X,K_X)</math> не меньше 0, мы хотим найти <math>X'</math>, бирациональное <math>X</math> с каноническим Шаблон:Не переведено 5 <math>K_{X^\prime}</math>. В этом случае <math>X'</math> является минимальной моделью для <math>X</math>.
Вопрос о несингулярности многообразий <math>X'</math> и <math>X</math>, приведённых выше, является важным. Выглядит естественной надежда, что если мы начинаем с гладкого <math>X</math>, мы всегда найдём минимальную модель или пространство расслоения Фано внутри категории гладких многообразий. Однако это неверно, так что становится необходимым рассмотрение сингулярных многообразий. Возникающие сингулярности называются Шаблон:Не переведено 5.
Минимальные модели поверхностей
Шаблон:Основная статья Любая неприводимая комплексная алгебраическая кривая является бирациональной к единственной гладкой проективной кривой, так что теория для кривых тривиальна. Случай поверхности был сначала исследован итальянцами в конце девятнадцатого — начале двадцатого века. Теорема о стягивании Кастельнуово, по существу, описывает процесс построения минимальной модели любой гладкой поверхности. Теорема утверждает, что любой нетривиальный бирациональный морфизм <math>f : X \rightarrow Y</math>должен стягивать −1-кривую в гладкую точку, и наоборот, любая такая кривая может быть гладко стянута. Здесь −1-кривая является гладкой рациональной кривой C с самопересечением C.C = −1. Любая такая кривая должна иметь K.C=−1, что показывает, что если канонический класс является неф-классом, то поверхность не имеет −1-кривых.
Из теоремы Кастельнуово следует, что для построения минимальной модели для гладкой поверхности, мы просто стягиваем все −1-кривые на поверхности, и результирующее многообразие Y либо является (единственной) минимальной моделью с неф-классом K, либо линейчатой поверхностью (которая является такой же, как и 2-мерное пространство расслоения Фано, и является либо проективной плоскостью, либо линейчатой поверхностью над кривой). Во втором случае линейчатая поверхность, бирациональная к X, не единственна, хотя существует единственная поверхность, изоморфная произведению проективной прямой и кривой.
Минимальные модели в пространствах высоких размерностей
В размерностях, больших 2, вовлекается более мощная теория. В частности, существуют Шаблон:Не переведено 5 <math>X</math>, которые не бирациональны любому гладкому многообразию <math>X'</math> с каноническим неф-классом. Главное концептуальное продвижение 1970-х и ранних 1980-х годов — построение минимальных моделей остаётся возможным с тщательным описанием возможных сингулярностей моделей. (Например, мы хотим понять, является ли <math>K_{X'}</math> неф-классом, так что число пересечений <math>K_{X'}{\cdot}C</math> должно быть определено. Следовательно, по крайней мере, наши многообразия должны иметь <math>nK_{X'}</math> дивизор Картье для некоторого положительного числа <math>n</math>.)
Первым ключевым результатом является Шаблон:Не переведено 5 Мори, которая описывает структуру конуса кривых <math>X</math>. Коротко, теорема показывает, что начиная с <math>X</math>, можно по индукции построить последовательность многообразий <math>X_i</math>, каждое из которых «ближе», чем предыдущее к неф-классу <math>K_{X_i}</math>. Однако процесс может встретить трудности — в некоторой точке многообразие <math>X_i</math> может стать «слишком сингулярным». Гипотетическое решение этой проблемы — Шаблон:Не переведено 5, вид хирургии коразмерности 2 на <math>X_i</math>. Неясно, существует ли требуемая перестройка, или что процесс всегда прервётся (то есть что достигнем минимальную модель <math>X'</math> за конечное число шагов.) МориШаблон:Sfn показал, что перестройки существуют в 3-мерном случае.
Существование более общих логперестроек установил ШокуровШаблон:Sfn для размерностей три и четыре. Впоследствии это обобщили для более высоких размерностей Шаблон:Не переведено 5, Каскини, Хэкон, и Маккернан, опираясь на более ранние работы Шокурова, Хэкона и Маккернана. Они поставили также некоторые другие задачи, включая обобщение лог-канонических колец и существование минимальных моделей для лог-многообразий общего вида.
Задача обрыва лог-перестроек в пространствах большей размерности остаётся объектом активного исследования.
Примечания
Литература
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
