Русская Википедия:Проективная плоскость
Проективная пло́скость — двумерное проективное пространство. Важным частным случаем является вещественная проективная плоскость.
Проективная плоскость отличается важной ролью, которую играет так называемая аксиома Дезарга, в проективных пространствах больших размерностей являющаяся теоремой.
Определения
Проективная плоскость над телом
Проективная плоскость над телом <math>K</math> — это множество одномерных подпространств (прямых, проходящих через ноль) трёхмерного линейного пространства <math>K^3</math>. Данные прямые называются точками проективной плоскости. Проективная плоскость над телом <math>K</math> обычно обозначается <math>K\mathrm{P}^2</math>, например <math>\R \mathrm{P}^2</math>, <math>\mathbb{C} \mathrm{P}^2</math>, <math>\mathbb{H} \mathrm{P}^2</math> и так далее.
Аксиоматическое определение
Классическая проективная плоскость П определяется следующими аксиомами. Первые четыре из них являются обязательными.
- П1. Через две различные точки P и Q плоскости П проходит прямая, причём только одна.
- П2. Любые две прямые имеют общую точку.
- П3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
- П4. Каждая прямая содержит не менее трёх точек.
Дополнительными аксиомами являются следующие:
- П5. Аксиома Дезарга. Если треугольники ABC и A’B’C' таковы, что прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в точке O, то точки пересечения пар соответствующих сторон AB и A’B' (P), BC и B’C' (R), AC и A’C'(Q) лежат на одной прямой.
- П6. Аксиома Паппа. Если l и l' — две различные прямые, A,B,С — три различные точки на прямой l, а A',B',C' — три различные точки l', причём все эти точки отличны от О — точки пересечения прямых l и l' , то точки пересечения пар соответствующих сторон AB' и A’B (P), BC' и B’C (R), AC' и A’C (Q) лежат на одной прямой.
- П7. Аксиома Фано. Пусть A, B, C, D — точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проведём все шесть прямых, соединяющих эти точки (AB, AC, AD, BC, BD, CD). Обозначим точку пересечения AB и CD через P, AC и BD через Q и AD и BC через R (диагональные точки). Эти диагональные точки не лежат на одной прямой.
Примеры
- Вещественная проективная плоскость.
- Плоскость Фано
- Плоскость Молтона — пример недезарговой проективной плоскости.
Свойства
- Для любой проективной плоскости над телом выполняются аксиомы П1—П4 и аксиома Дезарга П5. Обратно, если в плоскости П выполняется аксиома Дезарга П5, то она есть проективная плоскость над некоторым телом <math>K</math>.
- Если выполняются аксиома Паппа П6 и аксиомы П1—П4, то выполняется и аксиома Дезарга П5. В этом случае П является проективной плоскостью над полем (то есть тело K коммутативно). Обратно, в любой проективной плоскости над полем выполняется аксиома Паппа.
- Если выполняются аксиомы П1—П4 и аксиома Дезарга П5, то аксиома Фано П7 выполняется тогда и только тогда, когда П является проективной плоскостью над телом <math>K</math> характеристики ≠2.
Топология вещественной проективной плоскости
Представим вещественную проективную плоскость P²(R) как множество прямых в R³ . Её точки образуют пучок всех прямых, проходящих через начало координат. Построим единичную сферу. Тогда каждая наша прямая (точка P²(R)) пересекает сферу в двух противоположных точках: x и -x. Из этого легко получается другая модель. Отбросим верхнюю полусферу z > 0. Каждой точке на отброшенной полусфере соответствует точка на нижней полусфере, а диаметрально противоположные точки на экваториальной окружности нижней полусферы отождествляются. «Выпрямляя» полусферу, получаем круг, у которого отождествлены диаметрально противоположные точки граничной окружности. Круг гомеоморфен квадрату, противоположные стороны которого отождествляются (в направлении стрелок). Как показано на следующем рисунке, этот квадрат гомеоморфен кругу D² с приклеенным листом Мёбиуса μ. Поэтому проективная плоскость неориентируема.
Цикл (полуокружность) от <math>-x</math> до <math>x</math>(обозначим его как <math>a</math>) не является границей, однако полная окружность от <math>-x</math> до <math>x</math> и от <math>x</math> до <math>-x</math> (обозначим его как <math>2a</math>) уже ограничивает всю «внутреннюю» часть проективной плоскости, поэтому 2<math>a</math>≈0, а <math>a</math>≠0 (знак равенства означает, гомологичен или нет цикл нулю), то есть любой негомологичный нулю цикл гомологичен циклу <math>a</math>. Поэтому одномерная группа гомологий состоит из двух элементов H1(P²)={0,1}, где нулевому элементу группы соответствуют одномерные циклы, гомологичные нулю, а единице — все циклы гомологичные <math>a</math>.
Группы гомологий проективной плоскости легко вычисляются: H0(P²) =Z , H1(P²)={0,1} и H2(P²)=0 , числа Бетти (ранги групп гомологий) равны соответственно b0=1, b1=1, b2=0 и эйлерова характеристика равна знакочередующейся сумме χ(P²)=b0-b1+b2=1. Можно вычислить эйлерову характеристику и непосредственно из триангуляции χ(P²) (см. нижний рисунок) — число вершин равно 6, ребер 15 и граней 10, значит χ(P²)=6-15+10=1.
Согласно известной теореме о классификации поверхностей среди всех компактных, связных, замкнутых гладких многообразий проективная плоскость однозначно определяется тем, что она неориентируема и её эйлерова характеристика равна 1.
Фундаментальная группа π1(P²)= Z2, высшие гомотопические группы соответствуют таковым для сферы πn(P²)=πn(S²) для n≥2.
См. также
- Лента Мёбиуса
- Бутылка Клейна
- Поверхность Боя — пример погружения вещественной проективной плоскости в трёхмерное евклидово пространство.
Литература
- Артин Э. Геометрическая алгебра. — М.: Наука, 1969
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
- Кокстер Г. С. М. Действительная проективная плоскость. -М:Физматгиз, 1959
- Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. — М.: Наука, 1966
- Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: МГУ, 1998
- Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. — М.: Мир, 1970
