Русская Википедия:Проективная прямая

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Проективная прямая — одномерное проективное пространство. Проективная прямая представляет собой множество прямых (одномерных подпространств) в 2-мерном линейном пространстве. Точки проективной прямой могут быть заданы с помощью однородных координат <math>[x_1 : x_2]</math>. Как топологическое пространство, проективная прямая представляет собой одноточечную компактификацию аффинной прямой.

Примеры

Вещественная проективная прямая с пучком гладких функций является гладким многообразием. Это многообразие диффеоморфно окружности <math>\mathbb{R}P^1 \cong S^1</math>. Комплексная проективная прямая <math>\mathbb{C}P^1</math> — сфера Римана, — как вещественное многообразие, диффеоморфна двумерной сфере <math>S^2</math>. Для тела кватернионов проективная прямая, как вещественное многообразие, <math>\mathbb{H}P^1 \cong S^4</math>.

Действие групп на проективной прямой

Для групп <math>GL_2(k), SL_2(k)</math> и др. может быть определено действие на проективной прямой. Факторизуя по группе скалярных матриц, получаем группы <math>PGL_2(k), PSL_2(k)</math>, для которых это действие является точным. Для конечного поля <math>PSL_2(k)</math> изоморфна некоторой подгруппе конечной симметрической группы.

В алгебраической геометрии

Проективная прямая является важным примером проективного многообразия. Полем функций проективной прямой <math>P^1(K)</math> является поле <math>K(X)</math> рациональных функций. Группой автоморфизмов поля <math>K(X)</math> является группа <math>PGL_2(K)</math>. Если невырожденная квадратичная кривая содержит хотя бы одну точку, то она бирационально изоморфна проективной прямой.

Литература

• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — Шаблон:М: Наука 1986.
• Математическая энциклопедия, 1984, том 4, стр.671, статья Проективная прямая.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия — Шаблон:М: Мир, 1981.