Русская Википедия:Проективное представление
Проективное представление группы <math>G</math> на векторном пространстве <math>V</math> над полем <math>F</math> — это гомоморфизм <math>G</math> в проективную группу
- <math>\mathrm{PGL}(V) = \mathrm{GL}(V) / F^*,</math>
где <math>\mathrm{GL}(V)</math> — полная линейная группа, а <math>F^*</math> — нормальная подгруппа, состоящая из скалярных множителей тождественного оператора.[1] Иными словами, это набор операторов <math>\rho(g)\in\mathrm{GL}(V),\, g\in G</math> таких, что
- <math>\rho(g)\rho(h) = c(g, h)\rho(gh)</math>
для некоторой константы <math>c(g, h)\in F</math>.
Некоторые проективные представления можно получить из представлений <math>\mathrm{GL}(V)</math> с помощью факторотображения <math>\mathrm{GL}(V) \to \mathrm{PGL}(V)</math>. Особый интерес для алгебры представляет ситуация, когда данное проективное представление может быть «поднятно» до обычного линейного представления <math>\mathrm{GL}(V);</math> в общем случае препятствия к этому описываются когомологиями групп.
Важнейшим случаем являются проективные представления групп Ли, изучение которых приводит к рассмотрению представлений их центральных расширений. Во многих интересных случаях достаточно исследовать представления накрывающих групп, которым соответствуют проективные представления накрываемой группы:
- Специальная ортогональная группа <math>\mathrm{SO}(n,F)</math> дважды накрывается спинорной группой <math>\mathrm{Spin}(n,F)</math>.
- В частности, группа вращений трёхмерного пространства <math>\mathrm{SO}(3)</math> накрывается <math>\mathrm{SU}(2)</math>, изучение представлений которой соответственно имеет важнейшее значение для нерелятивистской теории спина.
- Аналогично, релятивистская теория спина начинается с рассмотрения представлений <math>\mathrm{SL}(2,\C)</math> универсального накрытия группы Лоренца <math>\mathrm{SO}^+(3,1)</math>.
- Универсальное накрытие группы Пуанкаре есть полупрямое произведение <math>\mathbb{R}^{3,1} \rtimes \operatorname{SL}(2, \C)</math>, представления которой дают нам классификацию Вигнера частиц и полей в физике.
Теорема Баргмана утверждает, что если двумерные когомологии <math> H^2(\mathfrak g; \mathbb R)</math> алгебры Ли <math>\mathfrak g</math> тривиальны, то всякое проективное унитарное представление <math>G</math> может быть поднятно до обычного унитарного представления <math>G</math>.[2][3] Условия теоремы выполнены, в частности, для полупростых групп Ли и группы Пуанкаре.
См. также
- Спинор
- Спинорная группа
- Физика элементарных частиц и теория представлений
- Расширение группы
- Симметрия в квантовой механике
- Теория представлений группы Лоренца
Примечания
Литература
