Русская Википедия:Проективное пространство

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Проекти́вное простра́нство над полем <math>K</math> — пространство, состоящее из прямых (одномерных подпространств) некоторого линейного пространства <math>L(K)</math> над данным полем. Прямые пространства <math>L(K)</math> называются точками проективного пространства. Это определение поддаётся обобщению на произвольное тело <math>K.</math> В случае, когда поле <math>K=\mathbb{R}</math> или <math>K=\mathbb{C}</math>, соответствующее проективное пространство называется вещественным или комплексным соответственно.

Если <math>L</math> имеет размерность <math>n+1</math>, то размерностью проективного пространства называется число <math>n</math>, а само проективное пространство обозначается <math>KP^n</math> и называется ассоциированным с <math>L</math> (чтобы это указать, принято обозначение <math>P(L)</math>).

Переход от векторного пространства <math>L(K)</math> размерности <math>n+1</math> к соответствующему проективному пространству <math>KP^n</math> называется проективизацией пространства <math>L(K)</math>.

Точки <math>KP^n</math> можно описывать с помощью однородных координат.

Определение как факторпространства

Отождествляя точки <math>(x_0,\ldots,x_n)\sim(\lambda x_0,\ldots,\lambda x_n)</math>, где <math>\lambda</math> отлично от нуля, мы получим фактормножество (по отношению эквивалентности <math>\sim</math>)

<math>\mathbb P^n(\mathbb R):=(\mathbb R^{n+1}\setminus\{\mathbf0\})/{\sim}</math>.

Точки проективного пространства обозначаются как <math>[x_0:\ldots:x_n]</math>, где числа <math>x_i</math> называются однородными координатами. Например, <math>[1:2:3]</math> и <math>[2:4:6]</math> обозначают одну и ту же точку проективного пространства.

Аксиоматическое определение

Проективное пространство может быть также определено системой аксиом типа гильбертовской. В этом случае проективное пространство определяется как система, состоящая из множества точек <math>P</math>, множества прямых <math>L</math> и отношения инцидентности <math>I</math>, которое обычно выражается словами «точка лежит на прямой», удовлетворяющая следующим аксиомам:

• Для любых двух различных точек существует единственная прямая, инцидентная обеим точкам;
• Каждая прямая инцидентна не менее чем трём точкам;
• Если прямые <math>L</math> и <math>M</math> пересекаются (имеют общую инцидентную точку), точки <math>p</math> и <math>q</math> лежат на прямой <math>L</math>, а точки <math>s</math> и <math>r</math> — на прямой <math>M</math>, то прямые <math>ps</math> и <math>qr</math> пересекаются.

Подпространством проективного пространства называется подмножество <math>T</math> множества <math>P</math>, такое что для любых <math>p,q\in P</math> из этого подмножества все точки прямой <math>pq</math> принадлежат <math>T</math>. Размерностью проективного пространства <math>P</math> называется наибольшее число <math>n</math>, такое что существует строго возрастающая цепочка подпространств вида

<math>\varnothing=X_{-1}\subset X_0\subset\cdots X_n=P</math>.

Классификация

• Размерность 0: пространство состоит из единственной точки.
• Размерность 1 (проективная прямая): произвольное непустое множество точек и единственная прямая, на которой лежат все эти точки.
• Размерность 2 (проективная плоскость): в этом случае классификация является более сложной. Все плоскости вида <math>KP^n</math> для некоторого тела <math>K</math> удовлетворяют аксиоме Дезарга, однако существуют также недезарговы плоскости.
• Большие размерности: согласно теореме Веблена — Юнга, любое проективное пространство размерности более двух может быть получено как проективизация модуля над некоторым телом.

Связанные определения и свойства

• Пусть <math>M</math> есть гиперплоскость в линейном пространстве <math>L</math>. Проективное пространство <math>P(M)\subset P(L)</math> называется проективной гиперплоскостью в <math>P(L)</math>.
• На дополнении проективной гиперплоскости <math>A=P(L)\backslash P(M)</math> существует естественная структура аффинного пространства.
• Обратно, взяв за основу аффинное пространство <math>A</math>, можно получить проективное пространство как аффинное, к которому добавлены т. н. бесконечно удалённые точки. Первоначально проективное пространство и было введено таким образом.
• Пусть <math>P(L')</math> и <math>P(L)</math> ― два проективных подпространства. Множество <math>P(L' + L)</math> называется проективной оболочкой множества <math>P(L') \cup P(L)</math> и обозначается <math>P(L' + L) = \overline {P(L') \cup P(L)}</math>.

Тавтологическое расслоение

Тавтологическим расслоением <math>\gamma^n\colon E\to\mathbb RP^n</math> называется векторное расслоение, пространством расслоения которого является подмножество прямого произведения <math>\mathbb RP^n\times\mathbb R^{n+1}</math>

<math>E(\gamma^n):=\big\{(\{\pm x\},v)\in\mathbb RP^n\times\mathbb R^{n+1}:v=\lambda x,\;\lambda\in\mathbb{R}\big\}</math>,

а слоем — вещественная прямая <math>\mathbb R</math>. Каноническая проекция <math>\gamma^n</math> отображает прямую, проходящую через точки <math>\pm x\in\mathbb R^{n+1}</math>, в соответствующую точку проективного пространства. При <math>n\geqslant1</math> это расслоение не является тривиальным. При <math>n=1</math> пространством расслоения является лента Мёбиуса.

Литература

• Артин Э. Геометрическая алгебра — Шаблон:М: Наука, 1969.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — Шаблон:М: Наука, 1979.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — Шаблон:М: Наука 1986.
• Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — Шаблон:М: Мир, 1970.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
• Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
• Фиников С. П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.