Русская Википедия:Проективный модуль
Проекти́вный мо́дуль — одно из основных понятий гомологической алгебры. С точки зрения теории категорий, проективные модули являются частным случаем проективных объектов.
Определение
Модуль <math>P</math> над кольцом <math>A</math> (как правило, считаемым ассоциативным c единичным элементом), называется проективным, если для всякого гомоморфизма <math>g\colon P\to M</math> и эпиморфизма <math>f\colon N\to M</math> существует такой гомоморфизм <math>h\colon P\to N</math>, что <math>g = fh</math>, то есть данная диаграмма коммутативна:
Простейший пример проективного модуля — свободный модуль <math>F</math>. В самом деле, пусть <math>x_1, x_2, \ldots, x_i,\ldots</math> — элементы базиса модуля <math>F</math> и <math>g(x_i) = y_i</math>. Поскольку <math>f</math> — эпиморфизм, можно найти такие <math>z_i</math>, что <math>f(z_i) = y_i</math>. Тогда <math>h</math> можно определить, задав его значения на векторах базиса как <math>h(x_i) = z_i</math>.
Для колец многочленов от нескольких переменных над полем любой проективный модуль является свободным.
В общем случае это не так, хотя легко доказать теорему о том, что модуль <math>P</math> проективен тогда и только тогда, когда существует такой модуль <math>K</math>, что прямая сумма <math>F = P \oplus K</math> свободна. В самом деле, если <math>P</math> есть компонента прямой суммы <math>F</math>, которая является свободным модулем, и <math>g\colon P\to M</math> — гомоморфизм, то <math>gp_1 \colon F\to M</math> тоже гомоморфизм (<math>p_1</math> — проекция прямой суммы <math>F</math> на первое слагаемое <math>P</math>), а так как проективность свободных модулей нам известна, то существует гомоморфизм <math>h_1\colon F\to N</math>, такой, что <math>gp_1 = fh_1</math>, отсюда <math>g p_1 i_1 = f h_1 i_1</math>, где <math>i_1</math> — гомоморфизм включения <math>P\to F</math>, отсюда
- <math>g = fh_1 i_1\colon P\to M</math>
Обратно, пусть <math>P</math> — проективный модуль. Каждый модуль является гомоморфным образом свободного. Пусть <math>g\colon F\to P</math> — соответствующий эпиморфизм. Тогда тождественный изоморфизм <math>id\colon P\to P</math> будет равен <math>id = gh</math> для некоторого <math>h\colon P\to F</math>, так как <math>P</math> проективен. Любой элемент <math>F</math> тогда представим в виде
- <math>x = hg(x) + (x-hg(x)) \in \mathrm{Im}\,h \oplus \mathrm{Ker}\,g</math>,
где <math>\mathrm{Im}\,h</math> изоморфно <math>P</math>.
Свойства
- <math>P</math> проективен тогда и только тогда, когда для любого эпиморфизма <math>f\colon N\to M</math> индуцированный гомоморфизм <math>f_* \colon \text{Hom}(P,N) \to \text{Hom}(P,M)</math> является эпиморфизмом.
- <math>P</math> проективен тогда и только тогда, когда он переводит любую короткую точную последовательность <math>0\to A \to B \to C \to 0</math> в точную последовательность <math>0\to \text{Hom}(P,A) \to \text{Hom}(P,B) \to \text{Hom}(P,C) \to 0</math>.
- Прямая сумма модулей проективна тогда и только тогда, когда проективно каждое слагаемое.
См. также
Литература
- Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — Шаблон:М: ИЛ, 1960
- Маклейн С. Гомология. — Шаблон:М: Мир, 1966..
