Русская Википедия:Проективный предел
Шаблон:Значения Проективный предел (обратный предел) — используемая в различных разделах математики конструкция, которая позволяет построить новый объект <math>X</math> по семейству (индексированному направленным множеством) однотипных объектов <math>X_i</math> и набору отображений <math>f_{ij}:X_j\to X_i</math>, <math>i\leqslant j</math>. Один из видов пределов в теории категорий.
Для проективного предела обычно используются следующие обозначения:
- <math>X=\varprojlim X_i</math>,
- <math>X=\projlim X_i</math>.
Проективный предел можно определить в произвольной категории. Двойственное понятие — прямой предел.
История
Проективные пределы появляются в работах Александрова. [1]
Определение
Алгебраические структуры
Для алгебраических систем проективный предел определяется следующим образом. Пусть <math>I</math> — направленное множество <math>\leqslant</math> (например, множество целых чисел), и пусть каждому элементу <math>i\in I</math> сопоставлена алгебраическая система <math>X_i</math> из какого-либо фиксированного класса (например, абелевых групп, модулей над заданным кольцом), а каждой паре <math>(i,\;j)</math>, такой что <math>i,\;j\in I</math>, <math>i\leqslant j</math>, сопоставлен гомоморфизм <math>f_{ij}:X_j\to X_i</math>, причём <math>f_{ii}</math> — тождественные отображения для любого <math>i\in I</math> и <math>f_{ik}= f_{ij}\circ f_{jk}</math> для любых <math>i\leqslant j\leqslant k</math> из <math>I</math>. Тогда множество-носитель проективного предела направленного семейства — это подмножество <math>X</math> прямого произведения <math>X_i</math>, для элементов которого каждая компонента эквивалентна компонентам с меньшими индексами:
- <math>\varprojlim X_i = \biggl\{(x_i)\in\prod_{i\in I}X_i\;\bigg|\; x_i=f_{ij}(x_j)\ \forall i\leqslant j\biggr\}.</math>
Существуют канонические проекции <math>\pi_i\colon X \to X_i</math>, выбирающие <math>i</math>-ю компоненту прямого произведения для каждого <math>i \in I</math>. Эти проекции должны являться гомоморфизмами, исходя из этого можно восстановить добавленную алгебраическую структуру на проективном пределе.
Общий случай
В произвольной категории проективный предел можно описать при помощи его универсального свойства. Пусть <math>(X_i, f_{ij})</math> — семейство объектов и морфизмов категории C, удовлетворяющее тем же требованиям, что и в предыдущем пункте. Тогда <math>X</math> называется проективным пределом системы <math>(X_i, f_{ij})</math>, или <math>X=\varprojlim X_i</math>, если выполнены следующие условия:
- существует такое семейство отображений <math>\pi_i:X\to X_i</math>, что <math>\pi_i=f_{ij}\circ\pi_j</math> для любых <math>i\leqslant j</math>;
- для любого семейства отображений <math>\psi_i:Y\to X_i</math>, произвольного объекта <math>Y</math>, для которого выполнены равенства <math>\psi_i=f_{ij}\circ\psi_j</math> для любых <math>i\leqslant j</math>, существует единственное отображение <math>u:Y\to X</math>, что <math>\psi_i=\pi_i\circ u</math>, для всех <math>i\in I</math>.
Более общо, проективный предел — это предел в категорном смысле системы <math>(X_i, f_{ij})</math>.
Примеры
- Целые <math>p</math>-адические числа являются проективным пределом последовательности <math>\Z_{p^n}</math> с естественными отображениями вида «взятие остатка» <math>\Z_{p^n}\to\Z_{p^m}</math> при <math>n\geqslant m</math>.
- Кольцо <math>\textstyle Rt</math> формальных степенных рядов над коммутативным кольцом <math>R</math> — проективный предел колец <math>\textstyle R[t]/t^nR[t]</math>, индексированных натуральными числами, с естественными проекциями <math>\textstyle R[t]/t^{n+j}R[t] \to \textstyle R[t]/t^nR[t]</math>.
- Канторово множество гомеоморфно проективному пределу произведений двуточечных множеств (с дискретной топологией) с проекциями на первые несколько координат в качестве отображений.
- Проконечные группы определяются как проективные пределы конечных (дискретных) групп.
- В категории топологических пространств проективные пределы задаются Шаблон:Не переведено 5 на соответствующем множестве-носителе.
Примечания
Литература
- ↑ Александров П. С., «Аnn. of Math. », 1928, v. 30, p. 101-87.
