Русская Википедия:Произведение Хатри — Рао

Произведение Хатри — Рао — операция умножения матриц, определяемая выражением^[1]^[2]:

<math> \mathbf{A} \ast \mathbf{B} = \left(\mathbf{A}_{ij} \otimes \mathbf{B}_{ij}\right)_{ij}</math>

в котором <math>ij</math>-й блок является произведением Кронекера <math>m_i p_i \otimes n_j q_j</math> соответствующих блоков <math>\mathbf A</math> и <math>\mathbf B</math> при условии, что количество строк и столбцов обеих матриц равно. Размерность произведения — <math>\sum_i{m_i p_i} \times \sum_j {n_j q_j}</math>.

К примеру, если матрицы <math>\mathbf A</math> и <math>\mathbf B</math> имеют блочную размерность Шаблон:Nowrap:

<math> \mathbf{A} =

\left[ \begin{array} {c | c} \mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} \\ \hline \mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} \end{array} \right] = \left[ \begin{array} {c c | c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \hline 7 & 8 & 9 \end{array} \right] </math> и <math> \mathbf{B} = \left[ \begin{array} {c | c} \mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12} \\ \hline \mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22} \end{array} \right] = \left[ \begin{array} {c | c c} 1 & 4 & 7 \\ \hline 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{array} \right] </math>,

то:

<math>

\mathbf{A} \ast \mathbf{B} = \left[ \begin{array} {c | c} \mathbf{A}_{11} \otimes \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{12} \otimes \mathbf{B}_{12} \\ \hline \mathbf{A}_{21} \otimes \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{22} \otimes \mathbf{B}_{22} \end{array} \right] = \left[ \begin{array} {c c | c c} 1 & 2 & 12 & 21 \\ 4 & 5 & 24 & 42 \\ \hline 14 & 16 & 45 & 72 \\ 21 & 24 & 54 & 81 \end{array} \right] </math>.

Столбцовое произведение Хатри — Рао

Столбцовое произведение Кронекера двух матриц также принято называть произведением Хатри — Рао. Это произведение предполагает, что блоки матриц являются их столбцами. В этом случае <math>m_1 = m</math>, <math>p_1=p</math>, <math>n=q</math> и для каждого <math>j</math>: <math>n_j=p_j=1</math>. Результатом произведения является <math>mp\times n</math>-матрица, каждый столбец которой получается как произведение Кронекера соответствующих столбцов матриц <math>\mathbf A</math> и <math>\mathbf B</math>. Например, для:

<math>

\mathbf{C} = \left[ \begin{array} { c | c | c} \mathbf{C}_1 & \mathbf{C}_2 & \mathbf{C}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array} {c | c | c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right] </math> и <math> \mathbf{D} = \left[ \begin{array} { c | c | c } \mathbf{D}_1 & \mathbf{D}_2 & \mathbf{D}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c | c | c } 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{array} \right] </math>

столбцовое произведение:

<math>

\mathbf{C} \ast \mathbf{D} = \left[ \begin{array} { c | c | c } \mathbf{C}_1 \otimes \mathbf{D}_1 & \mathbf{C}_2 \otimes \mathbf{D}_2 & \mathbf{C}_3 \otimes \mathbf{D}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c | c | c } 1 & 8 & 21 \\ 2 & 10 & 24 \\ 3 & 12 & 27 \\ 4 & 20 & 42 \\ 8 & 25 & 48 \\ 12 & 30 & 54 \\ 7 & 32 & 63 \\ 14 & 40 & 72 \\ 21 & 48 & 81 \end{array} \right] </math>.

Столбцовая версия произведения Хатри — Рао используется в линейной алгебре для аналитической обработки данных^[3] и оптимизации решений проблемы обращения диагональных матриц^[4]^[5]; в 1996 году его было предложено использовать в описании задачи совместного оценивания угла прихода и времени задержки сигналов в цифровой антенной решётке^[6], а также для описания отклика 4-координатного радара^[7].

Торцевое произведение

Файл:Face splitting product of matrices.jpg

Торцевое произведение матриц

Существует альтернативная концепция произведения матриц, которая в отличие от столбцовой версии использует разбиение матриц на строки^[8] — торцевое произведение (Шаблон:Lang-en)^[7]^[9]^[10] или транспонированное произведение Хатри — Рао (Шаблон:Lang-en)^[11]. Этот тип матричного умножения базируется на построчном произведении Кронекера двух и более матриц с одинаковым количеством строк. Например, для:

<math>

\mathbf{C} = \left[ \begin{array} {c c} \mathbf{C}_1 \\\hline \mathbf{C}_2 \\\hline \mathbf{C}_3\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array} {c c c} 1 & 2 & 3 \\\hline 4 & 5 & 6 \\\hline 7 & 8 & 9 \end{array} \right] </math> и <math> \mathbf{D} = \left[ \begin{array} { c } \mathbf{D}_1\\\hline \mathbf{D}_2\\\hline \mathbf{D}_3\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c } 1 & 4 & 7 \\\hline 2 & 5 & 8 \\\hline 3 & 6 & 9 \end{array} \right] </math>

можно записать^[7]:

<math>

\mathbf{C} \bull \mathbf{D} = \left[ \begin{array} { c } \mathbf{C}_1 \otimes \mathbf{D}_1\\\hline \mathbf{C}_2 \otimes \mathbf{D}_2\\\hline \mathbf{C}_3 \otimes \mathbf{D}_3\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c c c c c c c } 1 & 4 & 7 & 2 & 8 & 14 & 3 & 12 & 21 \\\hline 8 & 20 & 32 & 10 & 25 & 40 & 12 & 30 & 48 \\\hline 21 & 42 & 63 & 24 & 48 & 72 & 27 & 54 & 81 \end{array} \right] </math>.

Основные свойства

Транспонирование (1996^[7]^[9]^[12]):

<math>\left(\mathbf{A}\bull \mathbf{B}\right)^\textsf{T} = \textbf{A}^\textsf{T} \ast \mathbf{B}^\textsf{T}</math>,

Коммутативность и ассоциативная операция^[7]^[9]^[12]:

<math>\begin{align}

       \mathbf{A} \bull (\mathbf{B} + \mathbf{C}) &= \mathbf{A} \bull \mathbf{B} + \mathbf{A} \bull \mathbf{C}, \\
       (\mathbf{B} + \mathbf{C}) \bull \mathbf{A} &= \mathbf{B} \bull \mathbf{A} + \mathbf{C} \bull \mathbf{A}, \\
                   (k\mathbf{A}) \bull \mathbf{B} &= \mathbf{A} \bull (k\mathbf{B}) = k(\mathbf{A} \bull \mathbf{B}), \\
 (\mathbf{A} \bull \mathbf{B}) \bull \mathbf{C} &= \mathbf{A} \bull (\mathbf{B} \bull \mathbf{C}), \\
 \end{align}</math>

где <math>\mathbf A</math>, <math>\mathbf A</math> и <math>\mathbf C</math> — матрицы, а <math>k</math> — скаляр,

<math>a \bull \mathbf{B} = \mathbf{B} \bull a</math>,^[12] где <math>a</math> - вектор с количеством элементов, равным количеству строк матрицы <math> \mathbf{B}</math>,

Свойство смешанного произведения (1997^[12]):

<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{B})\left(\mathbf{A}^\textsf{T} \ast \mathbf{B}^\textsf{T}\right) = \left(\mathbf{A}\mathbf{A}^\textsf{T}\right) \circ \left(\mathbf{B}\mathbf{B}^\textsf{T}\right)</math>,

<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{B})(\mathbf{C} \ast \mathbf{D}) = (\mathbf{A}\mathbf{C}) \circ (\mathbf{B} \mathbf{D})</math>^[10],

<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{B} \bull \mathbf{C} \bull \mathbf{D})(\mathbf{L} \ast \mathbf{M} \ast \mathbf{N} \ast \mathbf{P}) = (\mathbf{A}\mathbf{L}) \circ (\mathbf{B} \mathbf{M}) \circ (\mathbf{C} \mathbf{N})\circ (\mathbf{D} \mathbf{P}) </math>^[11]^[13],

<math>(\mathbf{A} \ast \mathbf{B})^\textsf{T}(\mathbf{A} \ast \mathbf{B}) = (\mathbf{A}^\textsf{T}\mathbf{A}) \circ (\mathbf{B}^\textsf{T} \mathbf{B})</math>^[14],

где <math>\circ</math> обозначает произведение Адамара.

Также выполняются следующие свойства:

<math>(\mathbf{A} \circ \mathbf{B})\bull (\mathbf{C} \circ \mathbf{D}) = (\mathbf{A}\bull \mathbf{C}) \circ (\mathbf{B}\bull \mathbf{D})</math>^[12],
<math>\mathbf{A} \otimes (\mathbf{B}\bull \mathbf{C}) = (\mathbf{A}\otimes \mathbf{B}) \bull \mathbf{C}</math>^[7],
<math>(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})(\mathbf{C} \ast \mathbf{D}) = (\mathbf{A}\mathbf{C}) \ast (\mathbf{B} \mathbf{D})</math>^[14],
<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{B})(\mathbf{C} \otimes \mathbf{D}) = (\mathbf{A}\mathbf{C}) \bull (\mathbf{B} \mathbf{D})</math>^[13],

<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{L})(\mathbf{B} \otimes \mathbf{M}) \dots (\mathbf{C} \otimes \mathbf{S}) = (\mathbf{A}\mathbf{B}\dots \mathbf{C}) \bull (\mathbf{L}\mathbf{M}...\mathbf{S})</math>,
<math>c^\textsf{T} \bull d^\textsf{T} = c^\textsf{T} \otimes d^\textsf{T} </math>^[12],
<math>c \ast d = c \otimes d </math>, где <math>c</math> и <math>d</math> являются векторами согласованной размерности,
<math>(\mathbf{A} \ast c^\textsf{T})d = (\mathbf{A} \ast d^\textsf{T})c</math>^[15], <math>d^\textsf{T}(c \bull \mathbf{A}^\textsf{T}) = c^\textsf{T}(d \bull \mathbf{A}^\textsf{T})</math>,
<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{B})(c \otimes d) = (\mathbf{A}c) \circ (\mathbf{B}d)</math>^[16], где <math>c</math> и <math>d</math> являются векторами согласованной размерности (следует из свойств 3 и 8),
<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{B})(\mathbf{M}\mathbf{N}c \otimes \mathbf{Q}\mathbf{P}d) = (\mathbf{A}\mathbf{M}\mathbf{N}c) \circ (\mathbf{B}\mathbf{Q}\mathbf{P}d)</math>,
<math>\mathcal W(C^{(1)}x \star C^{(2)}y) =(\mathcal W C^{(1)} \bull \mathcal W C^{(2)})(x \otimes y)= \mathcal W C^{(1)}x \circ \mathcal W C^{(2)}y </math>,

где <math>\mathcal W</math> является матрицей дискретного преобразования Фурье, <math>\star</math> - символ векторной свёртки (тождество следует из свойств отсчётного скетча^[17]),

<math> \mathbf{A} \bull \mathbf{B} = (\mathbf {A} \otimes \mathbf {1_c}^\textsf{T}) \circ (\mathbf {1_k}^\textsf{T} \otimes \mathbf {B})</math>^[18], где <math> \mathbf {A} </math> - <math> r \times c</math> матрица, <math> \mathbf {B} </math> - <math> r \times k</math> матрица, <math>\mathbf {1_c}</math>, <math>\mathbf {1_k}</math> - векторы из <math> c</math> и <math> k</math> единиц соответственно,
<math> \mathbf{M} \bull \mathbf{M} = (\mathbf {M} \otimes \mathbf {1}^\textsf{T}) \circ (\mathbf {1}^\textsf{T} \otimes \mathbf {M})</math>^[19], где <math> \mathbf {M} </math> является <math> r \times c</math> матрицей, <math>\circ</math> - произведение Адамара и <math>\mathbf {1}</math> - вектор из <math> c</math> единиц.
<math> \mathbf{M} \bull \mathbf{M} = \mathbf {M} [\circ] (\mathbf {M} \otimes \mathbf {1}^\textsf{T})</math>, где <math> [\circ] </math> - символ проникающего торцевого произведения матриц.

По аналогии, <math> \mathbf{P} \ast \mathbf{N} = (\mathbf {P} \otimes \mathbf {1_c}) \circ (\mathbf {1_k} \otimes \mathbf {N})</math>, где <math> \mathbf {P} </math> - <math> c \times r</math> матрица, <math> \mathbf {N} </math> - <math> k \times r</math> матрица,

<math> \mathbf{W_d}\mathbf{A} = \mathbf{w} \bull \mathbf{A} </math>^[12],
<math> vec((\mathbf{w}^\textsf{T} \ast \mathbf{A})\mathbf{B})= (\mathbf{B}^\textsf{T} \ast \mathbf{A}) \mathbf{w}</math>^[10],
<math> vec(\mathbf{A}(\mathbf{w} \bull \mathbf{B}))= (\mathbf{B}^\textsf{T} \ast \mathbf{A}) \mathbf{w}</math>^[11],
<math> vec(\mathbf{A}^\textsf{T} \mathbf{W_d} \mathbf{A})= (\mathbf{A} \bull \mathbf{A})^\textsf{T} \mathbf{w} </math>^[19],
<math> vec(\mathbf{A} \mathbf{W_d} \mathbf{A}^\textsf{T})= (\mathbf{A}^\textsf{T} \bull \mathbf{A}^\textsf{T})^\textsf{T} \mathbf{w}=(\mathbf{A} \ast \mathbf{A}) \mathbf{w} </math>,

где <math> \mathbf{w} </math> - вектор, сформированный из диагональных элементов матрицы <math> \mathbf{W_d} </math>, <math> vec(\mathbf{A}) </math> - операция формирования вектора из матрицы <math> \mathbf{A} </math> путём расположения одного под другим её столбцов.

Свойство поглощения произведения Кронекера:

<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{L})(\mathbf{B} \otimes \mathbf{M}) . . . (\mathbf{C} \otimes \mathbf{S})(\mathbf{K} \ast \mathbf{T}) = (\mathbf{A}\mathbf{B}...\mathbf{C}\mathbf{K}) \circ (\mathbf{L}\mathbf{M}...\mathbf{S}\mathbf{T})</math>^[10]^[13]

<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{L})(\mathbf{B} \otimes \mathbf{M}) . . . (\mathbf{C} \otimes \mathbf{S})(c \otimes d ) = (\mathbf{A}\mathbf{B}...\mathbf{C}c) \circ (\mathbf{L}\mathbf{M}...\mathbf{S}d)</math>,

<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{L})(\mathbf{B} \otimes \mathbf{M}) . . . (\mathbf{C} \otimes \mathbf{S})(\mathbf{P}c \otimes \mathbf{Q}d ) = (\mathbf{A}\mathbf{B}...\mathbf{C}\mathbf{P}c) \circ (\mathbf{L}\mathbf{M}...\mathbf{S}\mathbf{Q}d)</math>,

где <math>c</math> и <math>d</math> являются векторами согласованной размерности.

Например^[16]:

<math>\begin{align}

\\

&\quad

          \left(
     \begin{bmatrix}
        1 & 0 \\
        0 & 1 \\
        1 & 0
     \end{bmatrix}
     \bullet
     \begin{bmatrix}
        1 & 0 \\
        1 & 0 \\
        0 & 1
     \end{bmatrix}
     \right)
     \left(
     \begin{bmatrix}
        1 & 1 \\
        1 & -1
     \end{bmatrix}
     \otimes
     \begin{bmatrix}
        1 & 1 \\
        1 & -1
     \end{bmatrix}
     \right)
     \left(
     \begin{bmatrix}
        \sigma_1 & 0 \\
        0 & \sigma_2 \\
     \end{bmatrix}
     \otimes
     \begin{bmatrix}
        \rho_1 & 0 \\
        0 & \rho_2 \\
     \end{bmatrix}
     \right)
     \left(
     \begin{bmatrix}
        x_1 \\
        x_2
     \end{bmatrix}
     \ast
     \begin{bmatrix}
        y_1 \\
        y_2
     \end{bmatrix}
     \right)
\\[5pt]
     &\quad=
     \left(
     \begin{bmatrix}
        1 & 0 \\
        0 & 1 \\
        1 & 0
     \end{bmatrix}
     \bullet
     \begin{bmatrix}
        1 & 0 \\
        1 & 0 \\
        0 & 1
     \end{bmatrix}
     \right)
     \left(
     \begin{bmatrix}
        1 & 1 \\
        1 & -1
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
        \sigma_1 & 0 \\
        0 & \sigma_2 \\
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
        x_1 \\
        x_2
     \end{bmatrix}
     \,\otimes\,
     \begin{bmatrix}
        1 & 1 \\
        1 & -1
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
        \rho_1 & 0 \\
        0 & \rho_2 \\
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
        y_1 \\
        y_2
     \end{bmatrix}
     \right)
          \\[5pt]
     &\quad=
     \begin{bmatrix}
        1 & 0 \\
        0 & 1 \\
        1 & 0
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
        1 & 1 \\
        1 & -1
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
        \sigma_1 & 0 \\
        0 & \sigma_2 \\
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
        x_1 \\
        x_2
     \end{bmatrix}
     \,\circ\,
     \begin{bmatrix}
        1 & 0 \\
        1 & 0 \\
        0 & 1
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
        1 & 1 \\
        1 & -1
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
        \rho_1 & 0 \\
        0 & \rho_2 \\
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix}
        y_1 \\
        y_2
     \end{bmatrix}
     .
  \end{align}</math>

Теорема^[16]

Если <math>M = T^{(1)} \bullet \dots \bullet T^{(c)}</math>, где <math>T^{(1)}, \dots, T^{(c)}</math> представляют собой независимые включения матрицы <math>T</math>, содержащей строки <math>T_1, \dots, T_m\in \mathbb R^d</math>, такие, что <math>E[(T_1x)^2]=\|x\|_2^2</math> и <math>E[(T_1x)^p]^{1/p} \le \sqrt{ap}\|x\|_2</math>,

то <math>|\|Mx\|_2 - \|x\|_2| < \varepsilon\|x\|_2</math> с вероятностью <math>1-\delta</math> для любого вектора <math>x</math>, если количество строк

<math>m = (4a)^{2c} \varepsilon^{-2} \log1/\delta + (2ae)\varepsilon^{-1}(\log1/\delta)^c</math>.

В частности, если элементами матрицы <math>T</math> являются числа <math>\pm1</math>, можно получить <math>m = O(\varepsilon^{-2}\log1/\delta + \varepsilon^{-1}(\tfrac1c\log1/\delta)^c)</math>, что при малых значениях <math>\varepsilon</math> согласуется с предельным значением <math>m = O(\varepsilon^{-2}\log1/\delta)</math> леммы Джонсона-Линденштрауса о распределении.

Блочное торцевое произведение

Файл:Transposed Block Face-Splitting Product.jpg

Примение блочного транспонированного торцевого произведения для описания отклика многогранной цифровой антенной решётки^[13]

Для блочных матриц с одинаковым количеством столбцов в соответствующих блоках:

<math> \mathbf{A} =

\left[ \begin{array} {c | c} \mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} \\ \hline \mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} \end{array} \right] </math> и <math> \mathbf{B} = \left[ \begin{array} {c | c} \mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12} \\ \hline \mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22} \end{array} \right] </math>

согласно определению^[7], блочное торцевое произведение <math>\mathbf{A} [\bull] \mathbf{B} </math> запишется в виде:

<math>

\mathbf{A} [\bull] \mathbf{B} = \left[ \begin{array} {c | c} \mathbf{A}_{11} \bull \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{12} \bull \mathbf{B}_{12} \\ \hline \mathbf{A}_{21} \bull \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{22} \bull \mathbf{B}_{22} \end{array} \right] </math>.

Аналогично, для блочного транспонированного торцевого произведения (или блочного столбцового произведения Хатри — Рао) двух матриц <math>\mathbf{A} [\ast] \mathbf{B} </math> с одинаковым количеством столбцов в соответствующих блоках имеет место соотношение^[7]:

<math>

\mathbf{A} [\ast] \mathbf{B} = \left[ \begin{array} {c | c} \mathbf{A}_{11} \ast \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{12} \ast \mathbf{B}_{12} \\ \hline \mathbf{A}_{21} \ast \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{22} \ast \mathbf{B}_{22} \end{array} \right] </math>.

Выполняется свойство транспонирования^[13]:

<math>\left(\mathbf{A} [\ast] \mathbf{B} \right)^\textsf{T} = \textbf{A}^\textsf{T} [\bull] \mathbf{B}^\textsf{T}</math>

Приложения

Семейство торцевых произведений матриц используется в тензорно-матричной теории цифровых антенных решёток для радиотехнических систем^[11].

Торцевое произведение получило широкое распространение в системах машинного обучения, статистической обработке больших данных^[16]. Оно позволяет сократить объёмы вычислений при реализации метода уменьшения размерности данных, получившего наименование тензорный скетч^[16], а также быстрого преобразования Джонсона — Линденштрауса^[16]. При этом осуществляется переход от исходной проецирующей матрицы к произведению Адамара, оперирующему матрицами меньшей размерности. Погрешность аппроксимации данных большой размерности на основе торцевого произведения матриц соответствует лемме о малом искажении^[16]^[20]. В указанном контексте идея торцевого произведенияШаблон:Переход может быть использована для решения задачи дифференциальной приватности (Шаблон:Lang-en)^[15]. Кроме того, аналогичные вычисления были применены для формирования тензоров совместной встречаемости в задачах обработки естественного языка и построения гиперграфов подобия изображений^[21].

Торцевое произведение применяется для P-сплайн аппроксимации^[18], построения обобщённых линейных моделей массивов данных (GLAM) при их статистической обработке^[19] и может быть использовано для эффективной реализации ядерного метода машинного обучения, а также изучения взаимодействия генотипов с окружающей средой.^[22]

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Статья
Шаблон:Citation
Matrix Algebra & Its Applications to Statistics & Econometrics./C. R. Rao with M. Bhaskara Rao. — World Scientific. — 1998. — P. 216.

Шаблон:Библиоинформация

↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Citation
↑ See e.g. H.D. Macedo and J.N. Oliveira. A linear algebra approach to OLAP. Formal Aspects of Computing, 27(2):283-307, 2015.
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Статья
↑ Vanderveen, M. C., Ng, B. C., Papadias, C. B., & Paulraj, A. (n.d.). Joint angle and delay estimation (JADE) for signals in multipath environments. Conference Record of The Thirtieth Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers. — DOI:10.1109/acssc.1996.599145
↑ ^7,0 ^7,1 ^7,2 ^7,3 ^7,4 ^7,5 ^7,6 ^7,7 Шаблон:Cite journal
↑ Anna Esteve, Eva Boj & Josep Fortiana (2009): Interaction Terms in Distance-Based Regression, Communications in Statistics — Theory and Methods, 38:19, P. 3501 [1] Шаблон:Wayback
↑ ^9,0 ^9,1 ^9,2 Шаблон:Статья
↑ ^10,0 ^10,1 ^10,2 ^10,3 Шаблон:Cite journal
↑ ^11,0 ^11,1 ^11,2 ^11,3 Шаблон:Cite web
↑ ^12,0 ^12,1 ^12,2 ^12,3 ^12,4 ^12,5 ^12,6 Шаблон:Cite journal
↑ ^13,0 ^13,1 ^13,2 ^13,3 ^13,4 Vadym Slyusar. New Matrix Operations for DSP (Lecture). April 1999. - DOI: 10.13140/RG.2.2.31620.76164/1
↑ ^14,0 ^14,1 C. Radhakrishna Rao. Estimation of Heteroscedastic Variances in Linear Models.//Journal of the American Statistical Association, Vol. 65, No. 329 (Mar., 1970), pp. 161-172
↑ ^15,0 ^15,1 Kasiviswanathan, Shiva Prasad, et al. «The price of privately releasing contingency tables and the spectra of random matrices with correlated rows.» Proceedings of the forty-second ACM symposium on Theory of computing. 2010.
↑ ^16,0 ^16,1 ^16,2 ^16,3 ^16,4 ^16,5 ^16,6 Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Cite conference
↑ ^18,0 ^18,1 Шаблон:Cite journal
↑ ^19,0 ^19,1 ^19,2 Шаблон:Cite journal
↑ Шаблон:Cite conference
↑ Bryan Bischof. Higher order co-occurrence tensors for hypergraphs via face-splitting. Published 15 February, 2020, Mathematics, Computer Science, ArXiv Шаблон:Wayback
↑ Johannes W. R. Martini, Jose Crossa, Fernando H. Toledo, Jaime Cuevas. On Hadamard and Kronecker products in covariance structures for genotype x environment interaction.//Plant Genome. 2020;13:e20033. Page 5. [2]

[1] Шаблон:Статья

[2] Шаблон:Citation

[3] See e.g. H.D. Macedo and J.N. Oliveira. A linear algebra approach to OLAP. Formal Aspects of Computing, 27(2):283-307, 2015.

[4] Шаблон:Статья

[5] Шаблон:Статья

[6] Vanderveen, M. C., Ng, B. C., Papadias, C. B., & Paulraj, A. (n.d.). Joint angle and delay estimation (JADE) for signals in multipath environments. Conference Record of The Thirtieth Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers. — DOI:10.1109/acssc.1996.599145

[slyusar-7] 7,0 ^7,1 ^7,2 ^7,3 ^7,4 ^7,5 ^7,6 ^7,7 Шаблон:Cite journal

[Fortiana-8] Anna Esteve, Eva Boj & Josep Fortiana (2009): Interaction Terms in Distance-Based Regression, Communications in Statistics — Theory and Methods, 38:19, P. 3501 [1] Шаблон:Wayback

[slyusar1-9] 9,0 ^9,1 ^9,2 Шаблон:Статья

[slyusar2-10] 10,0 ^10,1 ^10,2 ^10,3 Шаблон:Cite journal

[slyusarsmartantenna1-11] 11,0 ^11,1 ^11,2 ^11,3 Шаблон:Cite web

[DIPED-12] 12,0 ^12,1 ^12,2 ^12,3 ^12,4 ^12,5 ^12,6 Шаблон:Cite journal

[lecture-13] 13,0 ^13,1 ^13,2 ^13,3 ^13,4 Vadym Slyusar. New Matrix Operations for DSP (Lecture). April 1999. - DOI: 10.13140/RG.2.2.31620.76164/1

[Rao-14] 14,0 ^14,1 C. Radhakrishna Rao. Estimation of Heteroscedastic Variances in Linear Models.//Journal of the American Statistical Association, Vol. 65, No. 329 (Mar., 1970), pp. 161-172

[k2010-15] 15,0 ^15,1 Kasiviswanathan, Shiva Prasad, et al. «The price of privately releasing contingency tables and the spectra of random matrices with correlated rows.» Proceedings of the forty-second ACM symposium on Theory of computing. 2010.

[tensorsketch-16] 16,0 ^16,1 ^16,2 ^16,3 ^16,4 ^16,5 ^16,6 Шаблон:Cite web

[ninh-17] Шаблон:Cite conference

[spline-18] 18,0 ^18,1 Шаблон:Cite journal

[GLAM-19] 19,0 ^19,1 ^19,2 Шаблон:Cite journal

[highdeg-20] Шаблон:Cite conference

[21] Bryan Bischof. Higher order co-occurrence tensors for hypergraphs via face-splitting. Published 15 February, 2020, Mathematics, Computer Science, ArXiv Шаблон:Wayback

[22] Johannes W. R. Martini, Jose Crossa, Fernando H. Toledo, Jaime Cuevas. On Hadamard and Kronecker products in covariance structures for genotype x environment interaction.//Plant Genome. 2020;13:e20033. Page 5. [2]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Произведение Хатри — Рао

Содержание

Столбцовое произведение Хатри — Рао

Торцевое произведение

Основные свойства

Теорема^[16]

Блочное торцевое произведение

Приложения

См. также

Примечания

Литература

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты

Русская Википедия:Произведение Хатри — Рао

Столбцовое произведение Хатри — Рао

Торцевое произведение

Основные свойства

Теорема[16]

Блочное торцевое произведение

Приложения

См. также

Примечания

Литература

Навигация

Поиск

Теорема^[16]