Русская Википедия:Произведение (теория категорий)
Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.
Определение
Пусть задано <math>\{X_i\}_{i \in I}</math> — индексированное семейство (не обязательно различных) объектов категории <math>C</math>. Объект <math>X</math> категории <math>C</math> вместе с семейством морфизмов <math>\pi_i\colon X \to X_i</math> является произведением семейства объектов <math>\{X_i\}_{i \in I}</math>, если для любого объекта <math>Y\in C</math> и любого семейства морфизмов <math>f_i\colon\, Y \to X_i</math> существует единственный морфизм <math>f\colon\, Y\to X</math>, для которого следующая диаграмма:
коммутативна для каждого <math>i \in I</math> (то есть <math>\pi_i \circ f = f_i</math>). Морфизмы <math>\pi_i</math> называются каноническими проекциями.
Приведенное определение равносильно следующему:
Объект <math>X</math> вместе с семейством проекций <math>\{\pi_i\}_{i \in I}</math> является произведением семейства объектов <math>\{X_i\}_{i \in I}</math> тогда и только тогда, когда для любого объекта <math>Y\in C</math> отображение
- <math>\mathrm{Hom}_{C}(Y,X) \rightarrow \prod_{i\in I} \mathrm{Hom}_{C}(Y,X_i),\; f\mapsto \prod_{i\in I} (\pi_i \circ f)</math>
Произведение двух объектов обычно обозначают <math>X_1 \times X_2</math>, при этом диаграмма принимает вид
Морфизм <math>f</math> при этом иногда обозначается <math>\lang f_1,f_2 \rang</math>.
Единственность результата операции <math>\lang -,- \rang</math> можно альтернативно выразить как равенство <math>\lang \pi_1 \circ h,\pi_2 \circ h \rang = h</math>, верное для любых <math>h</math>.[1]
Примеры
- В категории множеств категорное произведение совпадает с декартовым.
- В категории топологических пространств произведению пространств соответствует пространство, носитель которого является декартовым произведением носителей сомножителей, а топология определяется как произведение их топологий.
- В категории групп произведение групп определяется как их прямое произведение.
- В категории проективных многообразий категорное произведение можно задать при помощи вложения Сегре.
- Частично упорядоченное множество может рассматриваться как категория, в которой морфизм из <math>a</math> в <math>b</math> существует тогда и только тогда (по определению), когда <math>a \geqslant b</math> (причём между двумя объектами не может быть более одного морфизма). При этом произведением семейства линейно упорядоченных объектов является их наибольшая нижняя грань, а копроизведением — наименьшая верхняя грань.
Свойства
- Если произведение объектов существует, то оно единственно с точностью до изоморфизма.
- Коммутативность: <math>a \times b \simeq b \times a.</math>
- Ассоциативность: <math>(a\times b)\times c \simeq a\times (b\times c)</math>
- Если в категории существует терминальный объект <math>\ 1</math>, то <math>a \times 1 \simeq 1 \times a \simeq a.</math>
- Приведённые выше свойства формально сходны со свойствами коммутативного моноида. Более точно, категория, в которой определено произведение любых двух объектов и имеется терминальный объект, является симметричной моноидальной категорией.
Дистрибутивность
В общем случае существует канонический морфизм <math>X\times Y+X\times Z \to X\times(Y+Z)</math>, где плюс обозначает копроизведение объектов. Это следует из существования канонических проекций и вложений и из коммутативности следующей диаграммы:
Свойство универсальности для <math>X\times(Y+Z)</math> гарантирует при этом существование искомого морфизма. Категория называется дистрибутивной, если в ней этот морфизм является изоморфизмом.
Матрица преобразований
Любой морфизм
- <math>f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j</math>
порождает множество морфизмов
- <math>f_{ij} \colon a_i \to b_j</math>
задаваемых по правилу <math>f_{ij} = \pi_j \circ f \circ \imath_i</math> и называемых матрицей преобразования. Обратно, любая матрица преобразования <math>f_{ij} \colon a_i \to b_j</math> задаёт единственный соответствующий морфизм <math>\scriptstyle f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j.</math> Если в категории существует нулевой объект <math>0,</math> то для любых двух объектов <math>x,y</math> существует канонический нулевой морфизм: <math>0_{xy}:x\to 0\to y.</math> В этом случае матрица преобразования <math>\scriptstyle f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{i\in I} a_i</math>, задаваемая по правилу
- <math>f_{ij} = \left\{
\begin{matrix} 0_{a_ja_i},~ i\ne j \\ \mathrm{id}_{a_i},~ i=j \end{matrix} \right. </math>
называется единичной матрицей.
- Пример
В категории конечномерных векторных пространств <math>\mathcal{V}ect_f</math> копроизведение пространств совпадает с их произведением и является их прямой суммой. В этом случае категорное и обычное определение матрицы преобразования совпадают, так как любое конечномерное пространство можно разложить в прямую сумму одномерных, а также и в прямое произведение одномерных. Различие состоит в том, что в категорном определении элементы матрицы — это преобразования одномерного пространства в одномерное, тогда как в обычном определении в этих одномерных пространствах выбраны базисы и можно указывать только координату образа базисного вектора пространства-прообраза в базисе пространства-образа.
См. также
- Копроизведение — понятие, двойственное произведению.
- Декартово замкнутая категория
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Маклейн С. Категории для работающего математика. — Шаблон:М: Физматлит, 2004 [1998].
- Шаблон:Книга
