Русская Википедия:Производная Дини

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В анализе функций действительных переменных производные Дини — это одно из обобщений понятия производной.

Верхняя производная Дини непрерывной функции

<math>f:{\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R},</math>

обозначается через <math>f'_+</math> и определяется как

<math>f'_+(t) \triangleq \varlimsup_{h \to {0+}} \frac{f(t + h) - f(t)}{h}</math>,

где <math>\varlimsup</math> есть верхний частичный предел.

Нижняя производная Дини, <math>f'_-,</math> определяется как

<math>f'_-(t) \triangleq \varliminf_{h \to {0+}} \frac{f(t + h) - f(t)}{h}</math>,

где <math>\varliminf</math> есть нижний частичный предел.

Если <math>f</math> определена на векторном пространстве, тогда верхняя производная Дини в точке <math>t</math> по направлению <math>d</math> определяется как

<math>f'_+ (t,d) \triangleq \varlimsup_{h \to {0+}} \frac{f(t + hd) - f(t)}{h}.</math>

Если <math>f</math> локально липшицева (то есть у каждой точки существует окрестность, ограничение <math>f</math> на которую — липшицева функция), то <math>f'_+</math> конечна. Если <math>f</math> дифференцируема в точке <math>t</math>, тогда производная Дини в этой точке совпадает с обычной производной в <math>t</math>.

Примечания

• Иногда используют обозначение <math>D^+ f(t)</math> вместо <math>f'_+(t),</math> и <math>D_+f(t)</math> используется вместо <math>f'_-(t).</math>

• Также используют обозначения

<math>D^-f(t) \triangleq \varlimsup_{h \to {0-}} \frac{f(t + h) - f(t)}{h}</math>

и

<math>D_-f(t) \triangleq \varliminf_{h \to {0-}} \frac{f(t + h) - f(t)}{h}</math>

• Таким образом, когда используется <math> D </math>-нотация производных Дини, знаки плюс и минус обозначают левосторонний или правосторонний предел, а положение знака указывают на тип производной (верхняя или нижняя).

• На расширенной числовой прямой каждая из производных Дини всегда существует, однако они могут иногда принимать значения <math>+ \infty</math> или <math>- \infty</math>

Литература

• Шаблон:Книга