Русская Википедия:Производная Ли

Производная Ли тензорного поля <math>Q</math> по направлению векторного поля <math>X</math> — главная линейная часть приращения тензорного поля <math>Q</math> при его преобразовании, которое индуцировано локальной однопараметрической группой диффеоморфизмов многообразия, порождённой полем <math>X</math>.

Названа в честь норвежского математика Софуса Ли.

Обычно обозначается <math>\mathcal{L}_X Q</math>.

Определения

Аксиоматическое

Производная Ли полностью определяется следующими своими свойствами. Такое определение наиболее удобно для практических вычислений, но требует доказательства существования.

Производная Ли <math>\mathcal{L}_X f</math> от скалярного поля <math>f</math> есть производная <math>f</math> по направлению <math>X</math>.
<math>\mathcal{L}_Xf=Xf.</math>
Производная Ли <math>\mathcal{L}_X Y</math> от векторного поля <math>Y</math> есть скобка Ли векторных полей. (Производная Ли от поля <math>Y</math> по направлению поля <math>X</math>).
<math>\mathcal{L}_X Y=[X,Y].</math>
Для произвольных векторных полей и 1-формы <math>\alpha</math> выполняется равенство (тождество Картана)
<math>(\mathcal{L}_X\alpha)(Y)=(d\alpha)(X,Y)+Y\alpha(X).</math>
(правило Лейбница) Для произвольных тензорных полей S и T выполняется
<math>\mathcal{L}_X(S\otimes T)=(\mathcal{L}_XS)\otimes T+S\otimes (\mathcal{L}_XT).</math>

Через поток

Пусть <math>M</math> — <math>n</math>-мерное гладкое многообразие и <math>X</math> — векторное поле на <math>M</math>.

Рассмотрим поток <math>\Gamma^t_X\colon M\to M</math> по <math>X</math>, определяемый соотношениями

<math>\frac{d}{dt}\Gamma^t_X(p)=X_{\Gamma^t_X(p)}, \Gamma^0_X(p) = p</math>.

Обратное отображение к дифференциалу <math>\Gamma^t_X</math>,

<math>(d_p\Gamma^t_X)^{-1}\colon T_{\Gamma^t_X(p)}\to T_p</math>

однозначно продолжается до гомоморфизма <math>h_t</math> алгебры тензоров над <math>T_{\Gamma^t_X(p)}</math> в алгебру тензоров над <math>T_p</math>. Таким образом, произвольное тензорное поле <math>Q</math> определяет однопараметрическое семейство полей <math>Q_t=h_t(Q)</math>. Производная Ли может быть определена как

<math>\mathcal{L}_X Q=\frac{d}{dt}Q_t|_{t=0}</math>

Выражения в координатах

<math>\mathcal{L}_\xi f = \xi^k \partial_k f,</math>

где <math>f</math> — скаляр.

<math>\mathcal{L}_\xi y = \xi^k \partial_k y^i - y^k \partial_k \xi^i,</math>

где <math>y</math> — вектор, а <math>y^i</math> — его компоненты.

<math>\mathcal{L}_\xi \omega = \xi^k \partial_k \omega_i + \omega_k \partial_i \xi^k,</math>

где <math>\omega</math> — 1-форма, а <math>\omega_i</math> — её компоненты.

<math>\mathcal{L}_\xi g = \xi^k \partial_k g_{ij} + \partial_i \xi^k g_{kj} + \partial_j \xi^k g_{ik},</math>

где <math>g</math> — метрический тензор, а <math>g_{ij}</math> — его компоненты.

Производная Ли для тензорного поля в неголономном репере

Пусть тензорное поле К типа (p, q) задано в неголономном репере <math>\{ e_\alpha \}</math>, тогда его производная Ли вдоль векторного поля Х задаётся следующей формулой:

<math>(\mathcal{L}_X K)^{(\alpha)}_{(\beta)} = XK^{(\alpha)}_{(\beta)}-\{ K^{(\alpha)}_{(\beta)}P^*_* \}</math>,

где <math>(\alpha)=(\alpha_1 ... \alpha_p),(\beta)=(\beta_1 ... \beta_q)</math> и введены следующие обозначения:

<math>\{ K^{(\alpha)}_{(\beta)}P^*_* \}=\sum^p_{s=1}K^{\alpha_1...\sigma...\alpha_p}_{(\beta)}P^{\alpha_s}_\sigma-\sum^q_{s=1}K^{(\alpha)}_{\beta_1...\sigma...\beta_q}P^{\sigma}_{\beta_s}</math>,

<math>P^\alpha_\beta=e_\beta \xi^\alpha-R^\alpha_{\sigma\beta} \xi^\sigma</math>

<math>R^\sigma_{\alpha\beta}e_\sigma=[e_\alpha,e_\beta]</math> — объект неголономности.

Свойства

<math>\mathcal{L}_X (s)</math> <math>\R</math>-линейно по <math>X</math> и по <math>s</math>. Здесь <math>s</math> — произвольное тензорное поле.
Производная Ли — дифференцирование на кольце тензорных полей.
На супералгебре внешних форм производная Ли является дифференцированием и однородным оператором степени 0.
Пусть <math>v</math> и <math>u</math> — векторные поля на многообразии, тогда <math>[\mathcal{L}_v, \mathcal{L}_u] = \mathcal{L}_v \mathcal{L}_u - \mathcal{L}_u \mathcal{L}_v</math> есть дифференцирование алгебры <math>C^\infty(M)</math>, поэтому существует векторное поле <math>[v,u]</math>, для которого <math>\mathcal{L}_{[v,u]} = [\mathcal{L}_v, \mathcal{L}_u]</math>. Это векторное поле называется скобкой Ли полей u и v (также их скобкой Пуассона или коммутатором).
Формула гомотопии (тождество Картана):
<math>\mathcal{L}_v\omega = i_v d\omega + d i_v\omega.</math>

Здесь <math>\omega</math> — дифференциальная <math>k</math>-форма, <math>i_v</math> — оператор внутреннего дифференцирования форм, определяемый как <math>(i_v \omega)(X_1, \dots, X_{k-1}) = \omega (v, X_1, \dots, X_{k-1})</math>.

Как следствие, <math>\mathcal{L}_X d\omega = d \mathcal{L}_X \omega,\; \omega \in \Lambda^*(M)</math>
<math>\mathcal{L}_X (s) = \mathop{vpr}_F (Ts \circ X - X^F \circ s)</math>. Здесь <math>s</math> — гладкое сечение (естественного) векторного расслоения <math>F</math> (например, любое тензорное поле), <math>X^F</math> — поднятие векторного поля <math>X</math> на <math>F</math>, <math>\mathop{vpr}_F</math> — оператор вертикального проектирования на <math>F</math>. (См. далее)

Физический смысл производной Ли

Пусть векторное поле <math>V(x, t)</math> есть поле скоростей неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной системы отсчёта, то есть в каждой точке пространства <math>x</math> в каждый момент времени <math>t</math> определена скорость координатных сеток этих систем относительно друг друга. Тогда производная Ли вдоль векторного поля <math>V(x, t)</math> переносит производную по времени от каких-либо тензорных полей <math>Q(x, t)</math> из неинерциальной системы отсчёта в инерциальную, тем самым определяя инвариантную производную по времени от тензорных полей.

Обобщения

Естественные расслоения

Пусть <math>F</math> — естественное гладкое расслоение, то есть функтор, действующий из категории гладких многообразий в категорию расслоений над ними: <math>F\colon M \mapsto (F(M),M,\pi_M),\; \pi_M\colon F(M)\to M</math>. Произвольное векторное поле <math>X\in TM</math> порождает однопараметрическую группу диффеморфизмов <math>\Gamma^t: M\to M</math>, продолжающуюся с помощью <math>F</math> на пространство расслоения <math>F(M)</math>, то есть <math>F(\Gamma^t):F(M)\to F(M)</math>. Производная этой группы в нуле даёт векторное поле <math>X^F\in TF(M)</math>, являющееся продолжением <math>X</math>. Группа <math>F(\Gamma^t)</math> также позволяет определить производную Ли по <math>X</math> от произвольных сечений <math>s:M\to F(M)</math> по такой же формуле, как и в классическом случае:

<math>\mathcal{L}_X (s) = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} F(\Gamma^t)^* s = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} (F(\Gamma^{-t})\circ s \circ \Gamma^t)</math>

<math>\mathcal{L}_X (s) = Ts \circ X - X^F \circ s </math>

Отметим, что в общем случае производная Ли является элементом соответствующего вертикального расслоения <math>VF(M)</math>, то есть ядра отображения <math>T\pi_M: TF(M)\to TM</math>, так как <math>T\pi_M \circ \mathcal{L}_X (s) = 0_M</math>. Если <math>F</math> — векторное расслоение, то существует канонический изоморфизм <math>vl:F(M)\times_M F(M) \simeq VF(M)</math>. Оператор вертикального проектирования <math>vpr_F = \mathrm{pr}_2\circ vl^{-1}</math> позволяет представить производную Ли как сечение исходного расслоения:

<math>\mathcal{L}_X (s) = \mathop{vpr}_F (Ts \circ X - X^F \circ s)</math>

Производная Ли по формам

Другое обобщение основано на исследовании супералгебры Ли дифференцирований супералгебры внешних форм. Среди всех таких дифференцирований особенно выделяются так называемые алгебраические, то есть те, которые равны 0 на функциях. Любое такое дифференцирование имеет вид <math>i_K</math>, где <math>K\in TM\otimes \Lambda^*(M)</math> — тангенциальнозначная форма, а оператор внутреннего дифференцирования <math>i_K</math> определяется по формуле <math>(\omega \in \Lambda^{p+1} (M))</math>

<math>i_K \omega = \mathrm{Alt}(\omega \circ (K\otimes id^{\otimes p}))</math>

Здесь <math>\mathrm{Alt}</math> — операция альтернирования отображения по всем переменным. Производная Ли по векторнозначной форме <math>K</math> определяется через суперкоммутатор операторов:

<math>\mathcal{L}_K = [ i_K , d ]</math>

Её значение определяется тем, что любое дифференцирование <math>D</math> супералгебры <math>\Lambda^*(M)</math> однозначно представимо в виде <math>D = \mathcal{L}_K + i_S</math>, где <math>K</math>, <math>S</math> — некоторые векторнозначные формы. Кроме того, по формуле <math>[\mathcal{L}_K, \mathcal{L}_S] = \mathcal{L}_{[K,S]}</math> можно ввести скобку Фролиха-Ниенхойса тангенциальнозначных форм.

Литература

См. также

Поле Киллинга

Шаблон:Дифференциальное исчисление

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.