Русская Википедия:Производная Пинкерле

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В математике, производная Пинкерле T’ линейного оператора T:K[x] → K[x] на векторном пространстве многочленов от переменной x над полем K это коммутатор оператора T с умножением на x в алгебре эндоморфизмов End(K[x]). T.e. T’ является ещё одним линейным оператором T’:K[x] → K[x]

<math> T' := [T,x] = Tx-xT = -\operatorname{ad}(x)T.</math>

Более подробно, на многочлене <math> p(x)</math> этот оператор действует следующим образом:

<math> T'\{p(x)\}=T\{xp(x)\}-xT\{p(x)\}\qquad\forall p(x)\in \mathbb{K}[x].</math>

Названа в честь итальянского математика Сальваторе Пинкерле.

Свойства

Производная Пинкерле, как и любой коммутатор, является дифференцированием, удовлетворяющим правилу произведения и суммы: для любых линейных оператора <math>\scriptstyle S </math> и <math>\scriptstyle T </math>, принадлежащих <math> \scriptstyle \operatorname{End} \left( \mathbb K[x] \right) </math>, выполняется

1. <math>\scriptstyle{ (T + S)^\prime = T^\prime + S^\prime }</math> ;
2. <math>\scriptstyle{ (TS)^\prime = T^\prime\!S + TS^\prime }</math> где <math>\scriptstyle{ TS = T \circ S}</math> является композицией операторов ;

Также <math>\scriptstyle{ [T,S]^\prime = [T^\prime , S] + [T, S^\prime ] },</math> где <math>\scriptstyle{ [T,S] = TS - ST}</math> — обычная скобка Ли, что следует из тождества Якоби.

Обычная производная, D = d/dx, является оператором на многочленах. Прямое вычисление показывает, что её производная Пинкерле равна

<math> D'= \left({d \over {dx}}\right)' = \operatorname{Id}_{\mathbb K [x]} = 1.</math>

По индукции, эта формула обобщается до

<math> (D^n)'= \left({{d^n} \over {dx^n}}\right)' = nD^{n-1}.</math>

Это доказывает, что производная Пинкерле дифференциального оператора

<math> \partial = \sum a_n {{d^n} \over {dx^n} } = \sum a_n D^n </math>

также является дифференциальным оператором, так что производная Пинкерле есть дифференцирование <math>\scriptstyle \operatorname{Diff}(\mathbb K [x]) </math>.

Оператор сдвига

<math> S_h(f)(x) = f(x+h)</math>

может быть записан

<math> S_h = \sum_{n=0} {{h^n} \over {n!} }D^n </math>

с помощью формулы Тейлора. Тогда его производная Пинкерле равняется

<math> S_h' = \sum_{n=1} {{h^n} \over {(n-1)!} }D^{n-1} = h \cdot S_h. </math>

Другими словами, операторы сдвига есть собственные векторы производной Пинкерле, чей спектр есть все пространство скаляров <math>\scriptstyle{ \mathbb K }</math>.

Если T инвариантен к сдвигу, то есть если T коммутирует с S_h или <math>\scriptstyle{ [T,S_h] = 0}</math>, мы также имеем: <math>\scriptstyle{ [T',S_h] = 0}</math>, так что <math>\scriptstyle T'</math> также является инвариантным к тому же сдвигу <math>\scriptstyle h</math>.

Шаблон:Не переведено 5 дискретного времени

<math> (\delta f)(x) = {{ f(x+h) - f(x) } \over h }</math>

это оператор

<math> \delta = {1 \over h} (S_h - 1),</math>

чья производная Пинкерле — оператор сдвига <math>\scriptstyle{ \delta ' = S_h }</math>.

См. также

• Коммутатор операторов

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Pincherle Derivative. MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Biography of Salvatore Pincherle на MacTutor History of Mathematics archive.