Русская Википедия:Производная обратной функции

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Пусть <math>y=f(x)</math> — функция от аргумента <math>x</math> в некотором интервале <math>(a,b)</math>. Если в уравнении <math>y=f(x)</math> <math>y</math> считать аргументом, а <math>x</math> — функцией, то возникает новая функция <math>x=\phi(y),</math> где <math>f[\phi(y)]\equiv y,</math> — функция, обратная данной.

Теорема (о дифференцировании обратной функции)

Для дифференцируемой функции <math>y(x)</math> с производной <math>y'_x(x)</math>, отличной от нуля, производная <math>x'_y(y)</math> обратной функции <math>x(y)</math> равна обратной величине производной данной функции в точке <math>x(y)</math>, то есть

<math>x'_y(y)=\frac{1}{y'_x(x(y))}</math>

Шаблон:Hider</math> }}

Примеры

• <math>y=\arcsin {x} \Rightarrow x=\sin {y},</math>

<math>y'_x=(\arcsin{x})'=\frac{1}{x'_y}=\frac{1}{(\sin{y})'}=\frac{1}{\cos{y}}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2{y}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2{(\arcsin {x})}}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.</math>

• <math>y=\ln {x} \Rightarrow x=e^y,</math>

<math>y'_x=(\ln{x})'=\frac{1}{x'_y}=\frac{1}{(e^y)'}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}.</math>

См. также

• Производная функции
• Таблица производных
• Дифференцирование сложной функции
• Дифференцируемая функция
• Основная теорема анализа
• Геометрический смысл производной
• Частная производная

Литература

• В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович «Краткий курс высшей математики», ISBN 5-02-013927-0