Русская Википедия:Производная по времени

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Производная по времени — производная функции по отношению к времени, обычно интерпретируемая как скорость изменения значения функции. Время обычно обозначается переменной <math>t</math>.

Обозначения

Для обозначения производной по времени используется несколько обозначений. В дополнение к обычной (лейбницкой) нотации,

<math>\frac {dx} {dt}</math>

Очень часто, особенно в физике, используется сокращённая запись с точкой над переменной:

<math>\dot{x}</math>

(так называемая ньютоновская нотация).

Высшие производные по времени обозначаются так:

<math>\frac {d^2x} {dt^2}</math>

или в сокращённом виде: <math>\ddot{x}</math>.

В случае производных по времени более высоких порядков ньютоновская нотация, как правило, не используется.

В более общем случае, производная по времени от вектора:

<math> \vec V = \left[ v_1,\ v_2,\ v_3, \cdots \right] \ , </math>

определяется как вектор с составляющими, которые являются производными соответствующих компонент исходного вектора. То есть

<math> \frac {d \vec V } {dt} = \left[ \frac{ d v_1 }{dt},\frac {d v_2 }{dt},\frac {d v_3 }{dt}, \cdots \right] \ . </math>

Применение в физике

Производные по времени являются одним из ключевых понятий в физике. Например, для радиус-вектора <math>x</math>, производная по времени <math>\dot{x}</math> это его скорость, а вторая производная по времени <math>\ddot{x}</math> это его ускорение. Третья производная по времени известна как рывок.

Большое число уравнений в физике является производной по времени от вектора, например скорости или смещения. Многие другие фундаментальные величины в науке соотносятся как производные по времени друг от друга:

• сила является производной по времени от импульса
• мощность является производной по времени от энергии
• Сила тока является производной по времени от электрического заряда

Применение в экономике

В экономике многие теоретические модели эволюции различных экономических переменных используют производные по времени.