Русская Википедия:Производящий функционал
Производящий функционал — расширение понятия производящей функции моментов для одномерного / конечномерного распределения Гаусса на континуальное распределение Гаусса.
Определение
Производящий функционал корреляционных функций <math> G(A) </math> определяется следующим образом:
<math> G(A) = \langle \exp \left\{ \int\limits_{\Omega} \! \mathrm{d} X \, A_{I}(X) \varphi_{I}(X) \right\} \rangle, </math>
где <math> \langle \ldots \rangle </math> — усреднение по ансамблю. Без сокращений определение производящего функционала для нормированного на 1 континуального распределения Гаусса с квадратичной формой <math> K </math> выглядит следующим образом:
<math> G(A) = \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{1/2} \cdot \int \! \mathcal{D}\varphi \, \exp \left\{ -\frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) + \left( A, \varphi \right) \right\} </math>.
Однако же, обычно это определение записывают в сокращённом виде, опуская значки и интегрирования:
<math> G(A) = \langle e ^{ A \varphi } \rangle. </math>
Связь корреляционных функций с производящим функционалом
Поскольку определение корреляционных функций выглядит следующим образом:
<math> G_n(X_1,X_2, \dots X_n) = \langle \varphi(X_1) \varphi(X_2) \dots \varphi(X_n) \rangle, </math>
связь между производящим функционалом и корреляционными функциями получается:
<math> G_n(X_1,X_2, \dots X_n) = \left[ \frac{\delta}{\delta A(X_1)} \frac{\delta}{\delta A(X_2)} \dots \frac{\delta}{\delta A(X_n)} G (A) \right] _{A=0}, </math>
где <math> \frac{\delta}{\delta A} </math> — вариационная производная. Данная формула является полной аналогией формулы вычисления моментов через производящую функцию моментов для конечномерного распределения Гаусса.
Вычисление корреляционных функций
Для континуальных интегралов выполняется следующая формула:
<math> \int \! \mathcal{D}\varphi \, \exp \left\{ -\frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) + \left( A, \varphi \right) \right\} = \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{-1/2} \exp \left\{ \frac{(A, K^{-1} A)}{2} \right\} </math>.
Видно, что её левая часть — определение (с точностью до нормировки) производящего функционала <math> G(A) </math>. Тогда для парной корреляционной функции получим
<math> G_2(X_1,X_2) = \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{1/2} \cdot \left[ \frac{\delta}{\delta A(X_1)} \frac{\delta}{\delta A(X_2)} \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{-1/2} \exp \left\{ \frac{(A, K^{-1} A)}{2} \right\} \right] _{A=0} = K^{-1}(X_1, X_2). </math>
То есть
<math> G_2(X_1,X_2) = \langle \varphi(X_1) \varphi(X_2) \rangle = K^{-1}(X_1, X_2). </math>
Другие виды производящих функционалов
Ясно, что определённый так как приведено выше функционал
<math> G(A) = \langle e ^{ A \varphi } \rangle </math>
сохранит производящие свойства и для других распределений не зависящих от параметра <math> A </math>. Поскольку существует целый класс физических теорий, плотность распределения <math> \rho[\varphi] </math> в которых задаётся «почти квадратичным» функционалом действия <math> S[\varphi] </math>:
<math> \rho[\varphi] = C \cdot e ^{ - S[\varphi]}, </math>
<math> S[\varphi] = \frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) + V[\varphi], </math>
где <math> V[\varphi] </math> — мало, для них определяются собственные производящие функционалы с разным физическим смыслом. Они называются производящими функционалами функций Грина. Среди них: производящий функционал полных функций Грина
<math> G(A) = \frac{\int \! \mathcal{D}\varphi \, \exp \left\{ - S[\varphi]+ \left( A, \varphi \right) \right\}}{\int \! \mathcal{D}\varphi \, \exp \left\{ -\frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) \right\}}, </math>Шаблон:Sfn
связных функций Грина
<math> W(A) = \ln G(A), </math>Шаблон:Sfn
и 1-неприводимых функций Грина
<math> \Gamma(\alpha) = W(A(\alpha)) - \alpha A, \ \alpha(x) = \frac{\delta W(A)}{\delta A(x)}. </math>Шаблон:Sfn
Свои названия они получили из-за того, что их разложение согласно теории возмущений по малому параметру (т. н. константе связи) <math>g \sim V[\varphi] </math> в диаграммном представлении состоит для <math> G(A) </math> из всех возможных для данной теории диаграмм, для <math> W(A) </math> только из связных, а для <math> \Gamma(\alpha) </math> только из 1-неприводимых.
См. также
- Теорема Вика для функционального интеграла
- Континуальное распределение Гаусса
- Функциональный интеграл
Примечания
Литература
