Русская Википедия:Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

<math>\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}\qquad(1),</math>

где функции <math>P(t,x)</math> и <math>Q(t,x)</math> определены и непрерывны в некоторой области <math>\Omega\subseteq\mathbb{R}^2_{t,x}</math>.

Уравнения в полных дифференциалах

Если в уравнении (1) левая часть представляет собой полный дифференциал, то есть <math>\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=dU(t,x)\end{matrix}</math>, то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах (частный случай так называемого пфаффова уравнения). Интегральные кривые такого уравнения суть линии уровней функции <math>U(t,x)</math>, т.е. определяются уравнением <math>U(t,x)=C</math> при всевозможных значениях произвольной постоянной <math>C</math>.

Если в области <math>\Omega</math> выполнено условие <math>Q(t,x)\ne0</math> , то общее решение уравнения (1) определяется из уравнения <math>U(t,x)=C</math> как неявная функция <math>x=\varphi(t,C)</math>. Через каждую точку области <math>\Omega</math> проходит единственная интегральная кривая <math>x=\varphi(t,C)</math> уравнения (1).

Если рассматриваемая область <math>\Omega</math> односвязна, а производные <math>\frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial t}</math>также непрерывны в <math>\Omega</math>, то для того, чтобы (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия

<math>\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial t} \qquad \forall(t,x)\in\Omega</math>

(признак уравнения в полных дифференциалах).

Интегрирующий множитель

Непрерывная функция <math>\mu(t,x)\ne0</math> в <math>\Omega</math> называется интегрирующим множителем уравнения (1), если уравнение <math>\mu(Pdt+Qdx)=0</math> является уравнением в полных дифференциалах, то есть <math>\mu(Pdt+Qdx)=dU</math> для некоторой функции <math>U(t,x)</math>. Число интегрирующих множителей данного уравнения бесконечно.

Функция <math>\mu(t,x)</math> является интегрирующим множителем уравнения (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению

<math>\frac{\partial{\left(\mu P\right)}}{\partial x}=\frac{\partial{\left(\mu Q\right)}}{\partial t}\qquad \left(2\right)</math>

(область <math>\Omega</math> по-прежнему полагаем односвязной; уравнение (2) является следствием признака уравнения в полных дифференциалах).

Уравнение (2) в общем виде решается сложнее, чем (1), но для интегрирования (1) достаточно знать один интегрирующий множитель, то есть найти какое-либо одно решение уравнения (2). Обычно ищут решение (2) в виде <math>\mu=\mu(t)</math> или <math>\mu=\mu(x)</math>, но это не всегда возможно.

Алгоритм решения

(1) <math>\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}</math>

(2) <math>\begin{matrix}P'_x(t,x)=Q'_t(t,x)\end{matrix}</math>

(3) <math>\begin{matrix}U'_t=P(t,x) , U'_x=Q(t,x)\end{matrix}</math>

Возьмём (3).1 и проинтегрируем по переменной t:

(*) <math>\begin{matrix}U(t,x)=\int P(t,x) dt+\varphi(x)\end{matrix}</math>

Подставим в (3).2:

<math>\begin{matrix}U'_x(t,x)=(\int P(t,x) dt)'_x+\varphi'_x(x)\end{matrix}</math>

В получившемся равенстве слагаемые, содержащие t, уничтожатся. Получим: <math>\begin{matrix}\varphi'_x(x)=g(x)\end{matrix}</math>. Проинтегрируем по x и подставим в (*).

Уравнения с разделяющимися переменными

Если в уравнении (1) <math>P(t,x)=T_1(t)X_1(x),\ Q(t,x)=T_2(t)X_2(x)</math>, то это уравнение с разделяющимися переменными. Его можно записать в симметричном виде:

<math>T_1(t)X_1(x)dt+T_2(t)X_2(x)dx=0\qquad \left(3\right)</math>

• Решения уравнения с разделяющимися переменными
  • Решения уравнения <math>X_1(x)T_2(t)=0</math> являются решениями (3).
  • Если область <math>\Omega</math> выбрана так, что <math>X_1(x)T_2(t)\ne0\quad\forall(t,x)\in \Omega</math>, то разделив на <math>X_1(x)T_2(t)</math> получим уравнение с разделёнными переменными

<math>\frac{T_1}{T_2}dt+\frac{X_2}{X_1}dx=0.</math>

Это частный случай уравнения в полных дифференциалах. Для него очень просто получить решение в квадратурах. Интегральная кривая уравнения (3), проходящая через точку <math>(t_0,x_0)\in\Omega</math>, имеет вид:

<math>\int\limits_{t_0}^{t}{\frac{T_1}{T_2}dt}+\int\limits_{x_0}^{x}{\frac{X_2}{X_1}dx}=0.</math>

Пример дифференциального уравнения

<math>y'= \frac{y}{x} + cos^2\frac{y}{x} </math>