Русская Википедия:Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.
Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:
<math>\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}\qquad(1),</math>
где функции <math>P(t,x)</math> и <math>Q(t,x)</math> определены и непрерывны в некоторой области <math>\Omega\subseteq\mathbb{R}^2_{t,x}</math>.
Уравнения в полных дифференциалах
Если в уравнении (1) левая часть представляет собой полный дифференциал, то есть <math>\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=dU(t,x)\end{matrix}</math>, то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах (частный случай так называемого пфаффова уравнения). Интегральные кривые такого уравнения суть линии уровней функции <math>U(t,x)</math>, т.е. определяются уравнением <math>U(t,x)=C</math> при всевозможных значениях произвольной постоянной <math>C</math>.
Если в области <math>\Omega</math> выполнено условие <math>Q(t,x)\ne0</math> , то общее решение уравнения (1) определяется из уравнения <math>U(t,x)=C</math> как неявная функция <math>x=\varphi(t,C)</math>. Через каждую точку области <math>\Omega</math> проходит единственная интегральная кривая <math>x=\varphi(t,C)</math> уравнения (1).
Если рассматриваемая область <math>\Omega</math> односвязна, а производные <math>\frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial t}</math>также непрерывны в <math>\Omega</math>, то для того, чтобы (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия
(признак уравнения в полных дифференциалах).
Интегрирующий множитель
Непрерывная функция <math>\mu(t,x)\ne0</math> в <math>\Omega</math> называется интегрирующим множителем уравнения (1), если уравнение <math>\mu(Pdt+Qdx)=0</math> является уравнением в полных дифференциалах, то есть <math>\mu(Pdt+Qdx)=dU</math> для некоторой функции <math>U(t,x)</math>. Число интегрирующих множителей данного уравнения бесконечно.
Функция <math>\mu(t,x)</math> является интегрирующим множителем уравнения (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению
(область <math>\Omega</math> по-прежнему полагаем односвязной; уравнение (2) является следствием признака уравнения в полных дифференциалах).
Уравнение (2) в общем виде решается сложнее, чем (1), но для интегрирования (1) достаточно знать один интегрирующий множитель, то есть найти какое-либо одно решение уравнения (2). Обычно ищут решение (2) в виде <math>\mu=\mu(t)</math> или <math>\mu=\mu(x)</math>, но это не всегда возможно.
Алгоритм решения
(1) <math>\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}</math>
(2) <math>\begin{matrix}P'_x(t,x)=Q'_t(t,x)\end{matrix}</math>
(3) <math>\begin{matrix}U'_t=P(t,x) , U'_x=Q(t,x)\end{matrix}</math>
Возьмём (3).1 и проинтегрируем по переменной t:
(*) <math>\begin{matrix}U(t,x)=\int P(t,x) dt+\varphi(x)\end{matrix}</math>
Подставим в (3).2:
<math>\begin{matrix}U'_x(t,x)=(\int P(t,x) dt)'_x+\varphi'_x(x)\end{matrix}</math>
В получившемся равенстве слагаемые, содержащие t, уничтожатся. Получим: <math>\begin{matrix}\varphi'_x(x)=g(x)\end{matrix}</math>. Проинтегрируем по x и подставим в (*).
Уравнения с разделяющимися переменными
Если в уравнении (1) <math>P(t,x)=T_1(t)X_1(x),\ Q(t,x)=T_2(t)X_2(x)</math>, то это уравнение с разделяющимися переменными. Его можно записать в симметричном виде:
- Решения уравнения с разделяющимися переменными
- Решения уравнения <math>X_1(x)T_2(t)=0</math> являются решениями (3).
- Если область <math>\Omega</math> выбрана так, что <math>X_1(x)T_2(t)\ne0\quad\forall(t,x)\in \Omega</math>, то разделив на <math>X_1(x)T_2(t)</math> получим уравнение с разделёнными переменными
Это частный случай уравнения в полных дифференциалах. Для него очень просто получить решение в квадратурах. Интегральная кривая уравнения (3), проходящая через точку <math>(t_0,x_0)\in\Omega</math>, имеет вид:
Пример дифференциального уравнения
<math>y'= \frac{y}{x} + cos^2\frac{y}{x} </math>