Русская Википедия:Простое число Вольстенхольма

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

В теории чисел простым числом Вольстенхольма называется всякое простое число, удовлетворяющее усиленному сравнению из теоремы Вольстенхольма. При этом исходному сравнению из теоремы Вольстенхольма удовлетворяют все простые числа, кроме 2 и 3. Простые Вольстенхольма названы в честь математика Джозефа Вольстенхольма, который первым доказал теорему в XIX веке.

Интерес к этим простым возник по причине их связи с великой теоремой Ферма.

Известны только два простых числа Вольстенхольма — это 16843 и 2124679 (Шаблон:OEIS). Других простых чисел Вольстенхольма, меньших 109, нет[1].

Определения

Шаблон:Unsolved

Простое число Вольстенхольма может быть определено несколькими эквивалентными путями.

Через биномиальные коэффициенты

Простое число Вольстенхольма — это простое число, удовлетворяющее сравнению

<math>{2p \choose p} \equiv 2 \pmod{p^4},</math>

где выражение в левой части обозначает биномиальный коэффициент[2]. Сравните с теоремой Вольстенхольма, которая утверждает, что для любого простого p > 3 выполняется следующее сравнение:

<math>{2p \choose p} \equiv 2 \pmod{p^3}.</math>

Через числа Бернулли

Простое число Вольстенхольма — это простое число p, делящее (без остатка) числитель числа Бернулли Bp−3[3]Шаблон:Sfn[4]. Таким образом, простые числа Вольстенхольма представляют собой подмножество иррегулярных простых чисел.

Через иррегулярные пары

Шаблон:Main Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, что (p, p-3) является иррегулярной паройШаблон:SfnШаблон:Sfnp.

Через гармонические числа

Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, чтоШаблон:Sfn

<math>H_{p - 1} \equiv 0 \pmod{p^3}\, ,</math>

то есть числитель гармонического числа <math>H_{p-1}</math> делится на p3.

Поиск и текущее состояние

Поиск простых чисел Вольстенхольма начался в 1960-х годах и продолжается до сих пор. Последний результат был опубликован в 2007 году. Первое простое число Вольстенхольма 16843 было найдено в 1964 году, хотя результат и не был опубликован в явном виде[5]. Находка 1964 года была потом независимо подтверждена в 1970-х годах. Это число оставалось единственным известным примером таких чисел почти 20 лет, пока не было объявлено об обнаружении второго простого числа Вольстенхольма 2124679 в 1993 годуШаблон:Sfn. В то время вплоть до 1,2Шаблон:E не было найдено ни одного числа Вольстенхольма, кроме упомянутых двухШаблон:Sfn. Позднее граница была поднята до 2Шаблон:E Макинтошем (McIntosh) в 1995 годуШаблон:Sfn, а Тревисан (Trevisan) и Вебер (Weber) смогли достичь 2,5Шаблон:EШаблон:Sfnp. Последний результат зафиксирован в 2007 году — до 1Шаблон:E так и не нашли простых чисел ВольстенхольмаШаблон:Sfnp.

Ожидаемое количество

Существует гипотеза, что простых чисел Вольстенхольма бесконечно много. Предполагается также, что количество не превосходящих x простых чисел Вольстенхольма должно быть порядка ln ln x, где ln обозначает натуральный логарифм. Для любого простого числа p ≥ 5 частным Вольстенхольма называется

<math>W_p = \frac{{2p \choose p}-2}{p^3}.</math>

Ясно, что p является простым числом Вольстенхольма тогда и только тогда, когда Wp ≡ 0 (mod p). Из эмпирических наблюдений можно предположить, что остаток Wp по модулю p равномерно распределён на множестве {0, 1, …, p-1}. По этим причинам вероятность получения определённого остатка (например, 0) должна быть около 1/pШаблон:Sfn.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin2

Шаблон:Refend

Ссылки

Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:MathWorld
  2. ↑ Шаблон:Cite web
  3. ↑ Шаблон:Harvnb
  4. ↑ Шаблон:Harvnb
  5. ↑ Селфридж (Selfridge) и Поллак (Pollack) опубликовали первое простое число Вольстенхольма в Шаблон:Harvnb (см. Шаблон:Harvnb).
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Простое_число_Вольстенхольма&oldid=10654257