Русская Википедия:Простое число Фибоначчи — Вифериха

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Unsolved Простое число Фибоначчи — Вифериха (также простое число Уолла — Суня — Суня, Шаблон:Lang-en) — одно из предположительно существующих простых чисел определённого вида, связанных с числами Фибоначчи. По состоянию на 2023 год ни одного такого числа не найдено.

Определение

Простое <math>p>5</math> называется простым числом Фибоначчи — Вифериха, если <math>p^2</math> делит число Фибоначчи <math>F_{p - \left(\fracШаблон:PШаблон:5\right)}</math>, где символ Лежандра <math>\left(\tfrac{p}{5}\right)</math> определяется как:

<math>\left(\frac{p}{5}\right) = \begin{cases} 1, &\text{if}\ p \equiv \pm1 \pmod 5\\ -1, &\text{if}\ p \equiv \pm2 \pmod 5 \end{cases}</math>

Эквивалентное определение: простое <math>p</math> называется простым числом Фибоначи — Вифериха, если <math>L_p \equiv 1 \pmod {p^2}</math>, где <math>L_p</math> — <math>p</math>-ое число Люка.Шаблон:Rp

Существование

Существует гипотеза, что простых чисел Фибоначчи — Вифериха бесконечно много, однако по состоянию на 2013 год ни одно такое простое число не обнаружено.

В 2007 году Ричард Макинтош (Richard J. McIntosh) и Эрик Рётгер (Eric L. Roettger) показали, что если они существуют, то должны быть больше 2Шаблон:E, в 2010 году Франсуа Дорэ (François G. Dorais) и Доминик Клайв (Dominic Klyve) довели границу до 9,7Шаблон:E. В декабре 2011 года был начат поиск в проекте PrimeGrid, в декабре 2012 года PrimeGrid дошёл до границы 1,5Шаблон:E. По состоянию на апрель 2014 года PrimeGrid дошёл до границы 2.8Шаблон:E и продолжает поиск.

История

Простые числа Уолла — Суня — Суня названы в честь Дональда Уолла (Donald Dines Wall), Сунь Чжихуна (Sūn Zhìhóng) и Сунь Чживэя (Sūn Zhìwěi), которые в 1992 году показали, что если первый случай великой теоремы Ферма неверен для некоторого простого <math>p,</math> то <math>p</math> должно быть простым числом Фибоначи — Вифериха. Таким образом, до доказательства великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом, поиск простых Фибоначчи — Вифериха преследовал цель найти потенциальный контрпример.

Обобщения

Простое (число) трибоначчи — Вифериха (Шаблон:Lang-en) — простое число, удовлетворяющее условию

<math>h(p) = h(p^2),</math>

где <math>h(m)</math> — наименьшее положительное целое, для которого выполняется условие

<math>\left[ T_h, T_{h+1}, T_{h+2} \right] \equiv \left[ T_0,T_1,T_2 \right] \pmod{m} ,</math>

<math>T_n</math> — число трибоначчи с номером n, определённое как

<math>T_{n+3} = T_{n+2} + T_{n+1} + T_n,</math>

<math>T_0 = 0, T_1 = 0, T_2 = 1.</math>

Простых трибоначчи — Вифериха, меньших 10¹¹, не существует.

См. также

• Простое число Вифериха
• Число Вильсона
• Простое число Вольстенхольма

Литература

• Шаблон:Citation

Ссылки

• Chris Caldwell, The Prime Glossary: Wall-Sun-Sun prime at the Prime Pages.
• Шаблон:MathWorld
• Richard McIntosh, Status of the search for Wall-Sun-Sun primes (October 2003)