Русская Википедия:Простой идеал
Шаблон:К объединениюПростой идеал — естественное обобщение понятия простого числа в теории колец.
Одна из важнейших конструкций коммутативной алгебры, использующих понятие простого идеала, — локализация кольца.
Определение
Идеал <math>I</math> в кольце <math>A</math> называется простым, если факторкольцо <math>A/I</math> по нему является областью целостности.
Равносильная формулировка: если <math>I\neq A</math> и из <math>ab\in I</math> следует <math>a\in I</math> или <math>b\in I</math>, то <math>I</math> являет собой простой идеал.
Связанные понятия
Множество всех простых идеалов кольца <math>A</math> образует спектр кольца <math>\mathrm{Spec} A</math>. В его определение также входит описание топологии и структурного пучка локальных колец, превращающие его в аффинную схему — базовый объект алгебраической геометрии.
Свойства
- Максимальный идеал <math>I</math> кольца <math>A</math> (то есть собственный идеал, не содержащийся ни в каком собственном идеале) является простым.
- Идеал <math>I</math> прост тогда и только тогда, когда элементы дополнения к нему образуют мультипликативную систему. Подмножество кольца с единицей называется мультипликативной системой, если оно содержит единицу, не содержит нуля и замкнуто по умножению.
- Теорема отделимости: Пусть в коммутативном кольце <math>A</math> с единицей задан идеал <math>I</math>, не пересекающийся с мультипликативной системой <math>S_0</math>. Тогда существует простой идеал <math>I_0</math>, содержащий <math>I</math> и не пересекающийся с системой <math>S_0</math>.Шаблон:Нет АИ
- Теорема о радикале: Пересечение всех простых идеалов, содержащих идеал <math>I</math>, совпадает с радикалом идеала <math>I</math>. Радикал идеала <math>I</math> — это множество <math>\sqrt{I}=\{f\in A:\,\exist n\in \mathbb{N} \,\,f^n\in I\}</math>. Оно также является идеалом кольца <math>A</math>.
Примеры
- В кольце целых чисел <math>A=\mathbb{Z}</math> каждый простой идеал имеет вид <math>pA</math>, где <math>p</math> — простое число.
- В кольце многочленов от одной переменной <math>A=\mathbb{R}[x]</math> каждый простой идеал имеет вид <math>pA</math>, где <math>p</math> — неприводимый над <math>\mathbb{R}</math> многочлен.
- В кольце многочленов <math>A=\mathbb{Q}[x,y]</math> множество <math>I=xA+yA</math> является простым идеалом.
Некоммутативный случай
Понятие простого идеала коммутативного кольца является частным случаем понятия первичного идеала: первичным идеалом <math>I</math> (не обязательно коммутативного) кольца <math>A</math> называется всякий идеал (не совпадающий со всем кольцом) такой, что если два элемента <math>a,b\in A</math> таковы, что <math>\forall r\in A \ arb\in I</math>, то или <math>a\in I</math>, или <math>b\in I</math>.
Литература
