Русская Википедия:Пространственная форма

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Пространственная форма — связное полное риманово многообразие постоянной секционной кривизны <math>k</math>.

Пространственная форма называется сферической, евклидовой или гиперболической если соответственно <math>k>0</math>, <math>k=0</math>, <math>k<0</math>.

С помощью перенормировки метрики классификацию пространственных форм можно свести к трём случаям: <math>k=-1, 0, +1</math>.

Примеры

  • Евклидовы пространственные формы:
  • Сферические пространственные формы:
  • Гиперболические пространственные формы:
    • Пространство Лобачевского <math>\mathbb{H}^n</math>.
    • Двумерную ориентированную компактную гипрболическую пространственную форму рода <math>m</math> можно склеить из выпуклого <math>4m</math>-угольника в плоскости Лобачевского с попарно равными сторонами и суммой углов равной <math>2\pi</math>. Семейство неизоморфных компактных гиперболических пространственных форм размерности <math>2</math> рода <math>m</math> зависит от <math>6m-6</math> вещественных параметров.
    • Примеры гиперболических пространственных форм приведены в[1].

Общие свойства

  • При произвольном <math>n</math> и <math>k</math> существует единственная с точностью до изометрии <math>n</math>-мерная односвязная пространственная форма <math>M^n_k</math> кривизны <math>k</math>. Если <math>k>0</math> то это <math>n</math>-мерная сфера радиуса <math>1/\sqrt k</math>, при <math>k=0</math> это евклидово пространство и при <math>k<0</math> это <math>n</math>-мерное пространство Лобачевского.
    • Универсальное накрытие любой <math>n</math>-мерной пространственной формы кривизны <math>k</math> с поднятой метрикой изометрично <math>M^n_k</math>.
    • Иначе говоря, любая <math>n</math>-мерная пространственная форма кривизны <math>k</math> может быть получена из <math>M^n_k</math> факторизацией по дискретной группе <math>\Gamma</math> движений, действующих свободно (то есть без неподвижных точек); при этом два пространства <math>L=M^n_k/\Gamma</math> и <math>L'=M^n_k/\Gamma'</math> изометричны в том и только в том случае, когда <math>\Gamma</math> и <math>\Gamma'</math> сопряжены в группе всех движений <math>M^n_k</math>. Тем самым проблема классификации пространственных форм сводится к задаче описания всех несопряженных групп движений пространств <math>\mathbb{S}^n</math>, <math>\mathbb{E}^n</math> и <math>\mathbb{H}^n</math>, действующих дискретно и свободно.

Свойства сферических пространственных форм

Исчерпывающая классификация сферических пространственных форм получена в[2]

  • Если <math>n</math> чётно, то единственным движением сферы <math>\mathbb{S}^n</math> без неподвижных точек является центральная симметрия, переводящая каждую точку сферы в диаметрально противоположную. Факторпространство <math>\mathbb{R}\mathrm{P}^n=\mathbb{S}^n/\Gamma</math> по группе <math>\Gamma</math>, порожденное этим движением, есть вещественная проективная плоскость с метрикой постоянной кривизны (также называется пространство Римана или эллиптическое пространство). В частности
    • Любая сферическая пространственная форма чётной размерности <math>n</math> изометрична либо <math>\mathbb{S}^n</math>, либо <math>\mathbb{R}\mathrm{P}^n</math>.
  • Любая конечная циклическая группа может служить фундаментальной группой сферической пространственной формы (см. линзовое пространство).
  • Чтобы нециклическая группа порядка <math>N</math> могла служить фундаментальной группой <math>n</math>-мерной сферической пространственной формы, необходимо (но не достаточно), чтобы <math>N</math> было взаимно просто с <math>n+1</math> и делилось на квадрат какого-либо целого числа.

Свойства eвклидовых пространственных форм

Фундаментальные группы компактных eвклидовых пространственных форм являются частным случаем кристаллографических групп.

Теорема Бибербаха о кристаллографической группе приводит к структурной теории компактных евклидовых пространственных форм произвольной размерности:

  • Для любого <math>n\ge 2</math> существует только конечное число разных классов аффинно не эквивалентных компактных евклидовых пространственных форм размерности <math>n</math>.
  • Две компактные евклидовы пространственные формы <math>M=\mathbb{E}^n/\Gamma</math> и <math>M' = \mathbb{E}^n/\Gamma'</math> аффинно эквивалентны, тогда и только тогда, когда их фундаментальные группы <math>\Gamma</math> и <math>\Gamma'</math> изоморфны.
    • Например, любая двумерная компактная евклидова пространственная форма гомеоморфна (а следовательно, аффинно эквивалентна) либо плоскому тору, либо плоской бутылке Клейна.
  • Абстрактная группа <math>\Gamma</math> тогда и только тогда может служить фундаментальной группой компактной eвклидовой пространственной формы <math>M^n</math>, когда
    1. <math>\Gamma</math> имеет нормальную абелеву подгруппу <math>\Gamma^*</math> конечного индекса, изоморфную <math>\Z^n</math>;
    2. <math>\Gamma^*</math> совпадает со своим централизатором в <math>\Gamma</math>;
    3. <math>\Gamma</math> не имеет элементов конечного порядка.
    • Если такая группа <math>\Gamma</math> реализована в виде дискретной подгруппы в группе всех движений пространства <math>\mathbb{E}^n</math>, то <math>\Gamma^*</math> совпадает с множеством параллельных сдвигов, принадлежащих <math>\Gamma</math>, и имеется нормальное накрытие пространства <math>M</math> плоским тором <math>\mathbb{T}^n=\mathbb{E}^n/\Gamma^*</math>.
    • Конечная группа <math>\Gamma/\Gamma^*</math> изоморфна группе голономии пространства <math>M^n</math>.
  • Компактная евклидова пространственная форма всегда имеет конечную группу голономии.
    • Справедливо и обратное утверждение: компактное риманово пространство, группа голономии которого конечна, является плоским.
  • Любая конечная группа изоморфна группе голономии некоторой компактной евклидовой пространственной формы.
  • Любая некомпактная евклидова пространственная форма допускает вещественноаналитическую ретракцию на компактное вполне геодезическое плоское подмногообразие (см. теорема о душе).
    • В частности класс фундаментальных групп некомпактных eвклидовых пространственных форм совпадает с классом фундаментальных групп компактных евклидовых пространственных форм.

Свойства гиперболических пространственных форм

  • Компактные гиперболические пространственные формы размерности <math>n\ge3</math>, имеющие изоморфные фундаментальные группы, изометричны.

История

Исследование двумерных гиперболических пространственных форм по существу началось в 1888, когда Пуанкаре изучая дискретные группы дробно-линейных преобразований комплексной полуплоскости <math>Im(z)>0</math> — фуксовы группы, заметил, что их можно трактовать как группы движений плоскости Лобачевского.

Проблема классификации <math>n</math>-мерных римановых пространств произвольной постоянной кривизны была сформулирована de (Wilhelm Killing), который назвал её проблемой пространственных форм Клиффорда — Клейна; современная формулировка этой проблемы была дана Хопфом (1925).

Вариации и обобщения

Кроме римановых пространственных форм изучались их обобщения: псевдоримановы, аффинные и комплексные пространственные формы и пространственные формы симметрических пространств.

Литература

Шаблон:Примечания

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Винберг Э. Б. «Матем. сб.». — 1969, т. 78, № 4. — С. 633—39.
  2. ↑ Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны, пер. с англ. — Шаблон:М., 1982.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Пространственная_форма&oldid=10654328