Русская Википедия:Пространство Соболева

Пространство Соболева — функциональное пространство, состоящее из функций из пространства Лебега <math>L^p(Q)</math>, имеющих обобщённые производные заданного порядка <math>k</math> оттуда же.

При <math>1 \leqslant p \leqslant \infty</math> пространства Соболева <math>W^k_p(Q)</math> являются банаховыми пространствами, а при <math>p=2</math> — гильбертовыми пространствами. Для гильбертовых пространств Соболева также принято обозначение <math>H^k(Q)=W^k_2(Q)</math>.

Пространства Соболева были введены советским математиком Сергеем Львовичем Соболевым и впоследствии названы его именем.

Определение

Для области <math>Q\subset R^n</math> норма в соболевском пространстве <math>W^k_p(Q)</math> порядка <math>k \geqslant 1</math> и суммируемых со степенью <math>1 \leqslant p<\infty</math> вводится по следующей формуле:

<math>\|u\|_{W^k_p(Q)}=\left(\sum\limits_{|\alpha| \leqslant k}\int\limits_Q|D^\alpha u|^pdx\right)^{1/p},</math>

а при <math>p=\infty</math> норма выглядит следующим образом:

<math>\|u\|_{W^k_\infty(Q)}=\sum\limits_{|\alpha| \leqslant k}\mathrm{ess } \sup|D^\alpha u|,</math>

где <math>\alpha</math> — это мультииндекс, а операция <math>D^\alpha</math> есть обобщённая производная по мультииндексу.

Пространство Соболева <math>W^k_p(Q)</math> определяется как пополнение гладких функций в <math>W^k_p(Q)</math>-норме.

Примеры

Пространства Соболева имеют существенные отличия от пространств непрерывно дифференцируемых функций.

Пример разрывной функции

Пусть <math>Q=\{x\in R^2:|x|<1/2\}</math> — круг на плоскости. Функция <math>u(x)=\ln|\ln|x||</math> принадлежит пространству <math>H^1(Q)</math>, но имеет разрыв второго рода в точке <math>x=0</math>.

Пространства Соболева в одномерном случае

Функции из пространства <math>H^1(a,b)</math> являются непрерывными. Для любых двух функций из пространства <math>H^1(a,b)</math> произведение этих функций также принадлежит <math>H^1(a,b)</math>. Поэтому соболевское пространство первого порядка на отрезке является банаховой алгеброй.

Свойства

Для любой области <math>Q'\subset Q</math> из <math>f\in W^k_p(Q)</math> следует, что <math>f\in W^k_p(Q')</math>.
Если <math>f\in W^k_p(Q)</math> и <math>a\in C^k(\overline Q)</math>, то <math>af\in W^k_p(Q)</math>.
Если <math>f\in W^k_p(Q)</math> финитная в <math>Q</math>, то продолжение этой функции нулем принадлежит <math>W^k_p(Q')</math> для любой <math>Q\subset Q'</math>.
Пусть <math>y=y(x)</math> есть гладкое и взаимно однозначное отображение области <math>Q</math> на область <math>\Omega</math> и <math>F\in W^k_p(\Omega)</math>, тогда функция <math>f(x)=F(y(x))</math> принадлежит пространству <math>W^k_p(Q)</math>.
Пространства Соболева <math>W^k_p(Q)</math> являются сепарабельными пространствами.
Если граница области <math>Q</math> удовлетворяет условию Липшица, то множество <math>C^\infty(\overline Q)</math> плотно в <math>W^k_p(Q)</math>.
Пусть <math>u, v\in W^k_p(Q)</math>, где <math>Q</math> — ограниченная область в <math>R^n</math>, звездная относительно некоторого шара. Если <math>kp>n</math>, то их поточечное произведение <math>uv</math>, определенное почти всюду в <math>Q</math>, принадлежит пространству <math>W^k_p(Q)</math>, более того, существует положительная константа <math>C</math>, зависящая только от <math>k,n,p</math> такая, что

<math>\|uv\|_{W^k_p} \leq C\|u\|_{W^k_p}\|v\|_{W^k_p}</math>, иными словами, <math>W^{k,p}(Q)</math> является коммутативной банаховой алгеброй, умножение в которой согласовано с нормой <math>\|u\|_{W^k_p(Q)^*}= C\|u\|_{W^k_p(Q)}</math>.

Пространства <math>W^k_p(Q)</math> при <math>1<p<\infty</math> являются рефлексивными пространствами.
Пространства <math>W^k_2(Q)=H^k(Q)</math> являются гильбертовыми пространствами.

Теоремы вложения

Предполагая, что граница области <math>Q\subset R^n</math> удовлетворяет достаточным условиям гладкости, имеют место следующие теоремы вложения.

Теорема вложения Соболева

Если <math>k+n/p<s</math>, то имеет место непрерывное вложение

<math>W^s_p(Q)\subset C^k(\overline Q)</math>.

Здесь <math>k</math> предполагается целым и неотрицательным, а <math>s</math> может быть и дробным (пространства Соболева дробного порядка). Эта теорема играет важнейшую роль в теории функциональных пространств и дифференциальных уравнений в частных производных.

Теорема Реллиха — Кондрашова

Пусть область <math>Q</math> ограничена, <math>s_1>s_2</math>, <math>1<p_1,p_2<\infty</math> и <math>n(1/p_1-1/p_2)<s_1-s_2</math>, тогда: вложение <math>W^{s_1}_{p_1}(Q)\subset W^{s_2}_{p_2}</math> вполне непрерывно.

С помощью теорем о компактности вложения пространств Соболева доказываются многие теоремы существования для дифференциальных уравнений в частных производных.

История

Идея об обобщении решений дифференциальных уравнений в частных производных начинает проникать в математическую физику в 20-х годах XX века. С одной стороны, необходимость в расширении классов функций возникает в многомерных вариационных задачах, а с другой, — при исследовании волнового уравнения и уравнений гидродинамики. В этих задачах классы непрерывных функций оказались недостаточными.

В работе Фридрихса 1934 года^[1] при исследовании минимума квадратичного функционала были введены классы функций, которые совпадают с пространствами Соболева <math>H^1_0(Q)</math> — пространствами Соболева первого порядка, имеющими нулевой след на границе области. Однако в этих работах (так называемых прямых вариационных задачах) ещё не было понимания того, что соболевские пространства второго порядка являются классом корректности для эллиптических краевых задач, соответствующих вариационным задачам. В 1936 году в основополагающей работе Соболева^[2] вводятся обобщённые решения основных видов линейных уравнений в частных производных второго порядка (волновое уравнение, уравнение Лапласа и уравнение теплопроводности) из классов функций, которые впоследствии были названы пространствами Соболева. В этих работах обобщённые решения понимаются как пределы классических решений, причем пределы рассматриваются в классах интегрируемых функций. Такое расширение понятий решений позволяет исследовать задачи с весьма общими правыми частями и коэффициентами уравнений.

В 1930-х годах начинается всестороннее исследование пространств Соболева. Наиболее важными были работы Реллиха о компактности вложения (теорема Реллиха — Гординга) и теоремы о вложении (теоремы Соболева и Соболева — Кондрашова). Эти теоремы позволили строить обобщённые решения для многих задач математической физики, а также установить связь с классами непрерывных функций.

В 1940-х годах Ладыженской было предложено определять обобщённые решения с помощью интегральных тождеств для функций из пространств Соболева. Использование интегральных тождеств оказалось крайне удобным подходом для исследования разрешимости и гладкости решений уравнений в частных производных. В настоящее время определение обобщённых решений через интегральные тождества является стандартным методом постановки задач.

Пространства Соболева имеют принципиальное значение не только в теории дифференциальных уравнений с частными производными, но и в вариационных задачах, теории функций, теории приближений, численных методах, теории управления и многих других разделах анализа и его приложений.

Вариации и обобщения

Пространства Соболева <math>H^k_0(Q)</math>

В краевых задачах для дифференциальных уравнений в частных производных важную роль играют пространства функций из пространства Соболева, имеющих нулевые граничные условия. Эти пространства обозначаются через <math>H^k_0(Q)</math> и вводятся как замыкания множества <math>C^\infty_0(Q)</math> по норме пространства <math>H^k(Q)</math>, где <math>C^\infty_0(Q)</math> есть множество финитных в <math>Q</math> бесконечно дифференцируемых функций.

Пространства <math>H^k_0(Q)</math> являются замкнутыми подпространствами в <math>H^k(Q)</math>. При наличии определенной гладкости границы области <math>Q</math> это пространство совпадает с множеством функций из <math>H^k(Q)</math>, имеющих нулевой след на границе области <math>Q</math> и нулевой след всех обобщённых производных вплоть до <math>k-1</math>-го порядка.

Пространства Соболева во всем пространстве

Пространства Соболева <math>H^s(R^n)</math> можно определить с помощью преобразования Фурье. Для любой функции <math>f(x)\in L^2(R^n)</math> определено преобразование Фурье <math>\hat{f}(\omega)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{\R^n}f(x)e^{-ix\cdot\omega}\,dx</math>, причем, <math>\hat{f}(\omega)\in L^2(R^n)</math>. Пространство Соболева <math>H^s(R^n)</math> определяется следующим образом:

<math>H^s(R^n)=\{f\in L^2(R^n):(1+|\omega|^2)^{s/2}\hat{f}(\omega)\in L^2(R^n)\}</math>.

Пространства Соболева на торе

Пусть <math>T^n</math> — <math>n</math>-мерный тор. Пространство Соболева на торе <math>T^n</math>, то есть <math>2\pi</math>-периодических по всем переменным функций, можно определить с помощью многомерных рядов Фурье:

<math>H^k(T^n)=\{f\in L^2(T^n):\sum\limits_{m_1,\dots,m_n=-\infty}^\infty (1+m_1^{2k} + m_2^{2k} + \dots + m_n^{2k}) |f_{m_1m_2\dots m_n}|^2 < \infty\}</math>.

Пространства Соболева дробного порядка

Чтобы избежать путаницы, нецелочисленное k будем обычно обозначать как s, то есть <math>W^s_p</math> или <math>H^s</math>.

В случае 0<s<1 пространство <math>W^s_p</math> состоит из функций <math>f\in L^p(Q)</math>, <math>Q\subset R^n</math> таких, что

<math>\|f\|_{W^s_p}=\left(\|f\|^p_{L^p(Q)}+\int_Q\frac{|f(x)-f(y)|^p}{|x-y|^{n+ps}}dxdy\right)^{1/p}.</math>

Для нецелого s>1 положим <math>s=[s]+\sigma</math>, где <math>[s]</math> — целая часть s. Тогда <math>W^s_p(Q)</math> состоит из элементов <math>W^{[s]}_p(Q)</math> таких, что <math>D^\alpha f\in W^\sigma_p(Q)</math> для <math>|\alpha|=[s]</math> с нормой

<math>\|f\|_{W^s_p}=\left(\|f\|^p_{W^{[s]}_p(Q)}+\sum\limits_{|\alpha|=[s]}\|D^\alpha f\|^p_{W^\sigma_p(Q)}\right)^{1/p}.</math>

Пространства Соболева отрицательного порядка

При рассмотрении обобщённых решений дифференциальных уравнений в частных производных естественным образом возникают пространства Соболева отрицательного порядка. Пространство <math>H^{-k}(Q)</math> определяется по формуле:

<math>H^{-k}(Q)=\left(H^k_0(Q)\right)'</math>

где штрих означает сопряженное пространство. При этом мы получаем, что пространства Соболева отрицательного порядка представляют собой пространство обобщённых функций. Так, например, пространство <math>H^{-1}(-1,1)</math> содержит <math>\delta</math>-функцию Дирака.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, М.: Наука, 1988
Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
R. A. Adams, J. J. F. Fournier, 2003. Sobolev Spaces. Academic Press.
Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976

Шаблон:Rq

↑ Friedrichs K.O. Math. Ann. v. 109 (1934), 465—487.
↑ S. Soboleff, «Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales», Матем. сб., 1(43):1 (1936), 39-72

[1] Friedrichs K.O. Math. Ann. v. 109 (1934), 465—487.

[2] S. Soboleff, «Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales», Матем. сб., 1(43):1 (1936), 39-72

[1]

[2]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.