Русская Википедия:Пространство модулей
Пространство модулей в алгебраической геометрии — это геометрическое пространство (например, схема, Шаблон:Нп5 или Шаблон:Нп5 пространство), точки которого соответствуют некоторому классу алгебро-геометрических объектов <math>A</math>, факторизованному по некоторому отношению эквивалентности <math>R</math>. Такие пространства часто возникают как решения классификационных задач: если множество интересующих нас объектов (например, гладких алгебраических кривых рода <math>g</math>, рассматриваемых с точностью до изоморфизма), может быть снабжено структурой геометрического пространства, то можно параметризовать данные объекты, введя координаты на этом пространстве. В данном контексте термин «модули» синонимичен термину «параметры»: пространства модулей первоначально понимались как пространства параметров, а не пространства объектов.
История
Теория модулей возникла при изучении эллиптических функций: существует семейство различных полей эллиптических функций (или их моделей — неизоморфных эллиптических кривых над <math>\mathbb C</math>), параметризованное комплексными числами. Бернхард Риман, которому принадлежит и сам термин «модули», показал, что компактные римановы поверхности рода <math>g\geqslant 2</math> зависят от <math>3g-3</math> комплексных параметров — модулей.
Определения
Пусть <math>S</math> — некоторая схема (комплексное или алгебраическое пространство). Семейство объектов, параметризованное схемой <math>S</math> (или, как часто говорят, над <math>S</math> или с базой <math>S</math>) — это набор объектов <math>\{X_s|s\in S, X_s\in A\}</math>, снабжённый дополнительной структурой, согласованной со структурой базы <math>S</math>. Эта структура в каждом конкретном случае задаётся явно. Функтор модулей (или функтор семейств) — это контравариантный функтор <math>\mathcal M</math> из категории схем (или пространств) в категорию множеств, определяемый следующим образом: <math>\mathcal M(S)</math> — множество классов изоморфных семейств над <math>S</math>, а морфизму <math>f:S\to T</math> сопоставляется отображение <math>f^*:\mathcal M(T)\to\mathcal M(S)</math> посредством взятия индуцированного семейства.
Если функтор модулей <math>\mathcal M</math> представим с помощью схемы (или пространства) <math>M</math>, то <math>M</math> называется тонким пространством модулей для функтора <math>\mathcal M</math>. В этом случае существует универсальное семейство <math>U</math> с базой <math>M</math>, то есть произвольное семейство <math>T</math> с базой <math>S</math> индуцируется семейством <math>U</math> при помощи единственного отображения <math>f:S\to M</math>.
Функтор модулей представим в очень немногих случаях, в связи с чем было введено также понятие грубого пространства модулей. Схема <math>M</math> называется грубым пространством модулей для функтора <math>\mathcal M</math>. если существует естественное преобразование <math>\varphi: \mathcal M\to \mathrm{Hom}(\cdot,M)</math>, такое, что
- если <math>K</math> — алгебраически замкнутое поле, то отображение <math>\varphi(\mathrm{Spec} \,K):\mathcal M(\mathrm{Spec} \,K)\to \mathrm{Hom}(\mathrm{Spec} \,K,M)</math> биективно;
- для произвольной схемы <math>M'</math> и естественного преобразования <math>\varphi': \mathcal M\to \mathrm{Hom}(\cdot,M')</math> существует единственный морфизм <math>\pi:M\to M'</math>, такой, что для ассоциированного естественного преобразования <math>\Pi:\mathrm{Hom}(\cdot,M)\to\mathrm{Hom}(\cdot,M')</math> выполняется <math>\varphi=\Pi\circ\varphi'</math>.
Интуитивно, замкнутые точки грубой схемы модулей соответствуют элементам <math>A/R</math>, а геометрия этой схемы отражает то, каким образом объекты класса <math>A</math> могут варьироваться в семействах. С другой стороны, над грубой схемой модулей может уже не существовать универсального семейства.
Примеры
Кривые
Пусть <math>A/R=\mathbf M_g</math> (соответственно, <math>\overline{\mathbf M_g}</math>) — множество классов изоморфных проективных гладких связных кривых (соответственно, Шаблон:Нп5) рода <math>g\geqslant2</math> над алгебраически замкнутым полем <math>K</math>. Семейство над <math>S</math> — это гладкий (плоский) собственный морфизм <math>f:X\to S</math>, слоями которого являются гладкие (стабильные) кривые рода <math>g</math>. Тогда существует грубая схема модулей <math>M_g</math> (соответственно, <math>\overline{M_g}</math>), являющаяся квазипроективным (проективным) неприводимым и нормальным многообразием над <math>K</math>.[1]
Векторные расслоения
Пусть <math>A/R</math> — множество классов изоморфных векторных расслоений ранга <math>n</math> на алгебраическом многообразии <math>X</math>. Семейство над <math>S</math> — это векторное расслоение на <math>X\times S</math>. В случае, когда <math>X</math> — это неособая проективная кривая над алгебраически замкнутым полем, существует нормальное проективное многообразие <math>\overline{M_{d,n}}</math>, являющееся грубым пространством модулей полустабильных векторных расслоений ранга <math>n</math> и степени <math>d</math> на <math>X</math>. Стабильные векторные расслоения параметризуются открытым гладким подмногообразием <math>M_{d,n}\subset\overline{M_{d,n}}</math>. Если <math>d</math> и <math>n</math> взаимно просты, <math>M_{d,n}</math> совпадает с <math>\overline{M_{d,n}}</math> и является тонким пространством модулей[2].
Примечания
Литература
