Русская Википедия:Пространство непрерывных функций
Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке <math>[a,b]</math> функции (обычно обозначается <math>{\mathrm C}[a,b]</math>, иногда <math>C^0[a,b]</math> или <math>C^{(0)}[a,b]</math> или <math>C(a,b)</math>) . Норма в этом пространстве определяется следующим образом:
- <math>\|x\|_{{\mathbf C}[a,b]}=\max_{t\in [a,b]}|x(t)|</math>
Эту норму также называют нормой Чебышёва или равномерной нормой, так как сходимость по этой норме эквивалентна равномерной сходимости.
Свойства
- Если последовательность <math>x_n</math> элементов из <math> {\mathrm C}[a,b]</math> сходится в этом пространстве к некоторой предельной функции <math>x(t)</math>, то <math> x_n \rightrightarrows x</math> при <math>n\to\infty</math>.
- Отсюда: <math> {\mathrm C}[a,b]</math> — банахово пространство.
- Пространство непрерывных функций сепарабельно: счётное всюду плотное множество в нём образует множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Это утверждение получается как следствие аппроксимационной теоремы Вейерштрасса.
- В <math> {\mathrm C}[a,b]</math> не выполняется тождество параллелограмма, поэтому норма в нём не порождает никакого скалярного произведения.
Вариации и обобщения
Аналогичным образом это пространство строится так же и над областями и их замыканиями. В случае некомпактного множества максимум надо заменить на точную верхнюю грань.
Итак, пространством непрерывных ограниченных функций (вектор-функций) <math>C(X,Y)</math> называется множество всех непрерывных ограниченных функций <math>x:X\to Y</math> со введённой на нём нормой:
- <math>\|x\|_{C(X,Y)} = \sup_{t\in X}\|x(t)\|_{Y}.</math>
Наряду с чебышёвской нормой часто рассматривается пространство непрерывных функций с интегральной нормой:
- <math>\|x\|=\int\limits_a^b |x(t)|\,dt</math>
В смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций уже не образует полного линейного пространства. Фундаментальной, но не сходящейся в нем является, например, последовательность <math>x_n</math>
- <math>
x_n(t)= \begin{cases}
1, \quad t \geqslant \frac{1}{n} \\
nt,\quad t \in (-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \\
-1,\quad t \leqslant -\frac{1}{n}
\end{cases} </math>
Его пополнение есть <math>L_1[a,b]</math> — пространство суммируемых функций.
Литература
