Русская Википедия:Пространство ограниченных последовательностей

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Пространство ограниченных последовательностей — метрическое пространство. Каждый его элемент определяется как бесконечная последовательность чисел <math>x = \{x_n\}_{i=1}^{\infty}</math>, каждый член которой ограничен по модулю: <math>|x_{i}| \leqslant K_{i}</math>, <math>i=1, ... \infty</math>, где <math>K_{i}</math>, <math>i=1, ... \infty</math> - константыШаблон:Sfn, и в котором определено расстояние <math>\rho (x, y)</math> между любыми двумя точками <math>x, y</math>, какШаблон:Sfn: <math>\rho (x, y) = \sup_{i} | x_{i} - y_{i} | </math>, <math>i=1, ... \infty</math>, где <math>\sup</math> - точная верхняя граница.

Для пространства ограниченных последовательностей приняты стандартные обозначения <math>m</math> или <math>\ell_{\infty}</math>Шаблон:Sfn.

Пространство <math>m</math> не является сепарабельнымШаблон:Sfn и является полнымШаблон:Sfn.

При определении нормы в <math>m</math> какШаблон:Sfn:

<math>\left \| x \right \| = \sup_{i} | x_{i} | </math>, <math>i=1, ... \infty</math>

оно становится линейным нормированным пространством.

Примеры:

• бесконечные последовательности чисел вида <math>x = \{x_n\}_{i=1}^{\infty}</math>, таких, что <math>|x_{i}| \leqslant 1</math>, <math>i=1, ... \infty</math>
• бесконечные последовательности чисел вида <math>x = \{x_n\}_{i=1}^{\infty}</math>, таких, что <math>|x_{i}| \leqslant \frac{1}{i}</math>, <math>i=1, ... \infty</math>

См. также

• Пространство квадратично-суммируемых последовательностей

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга