Русская Википедия:Пространство основных функций

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Пространство основных функций — структура, с помощью которой строится пространство обобщённых функций (пространство линейных функционалов на пространстве основных функций).

Обобщённые функции имеют большое значение в математической физике, а пространство основных функций используется как основа для строительства обобщённых функций (формально это область определения соответствующих обобщенных функций). Дифференциальные уравнения рассматриваются в т. н. слабом смысле, то есть рассматривается не поточечное равенство, а равенство соответствующих регулярных линейных функционалов на подходящем пространстве основных функций. См. пространства Соболева.

Обычно в качестве пространства основных функций <math>\mathcal{D}(\Omega)</math> выбирается пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем (т. н. финитных функций) <math>C_0^\infty(\Omega)</math>, на котором вводится следующая сходимость (а значит и топология):

Последовательность <math>\left\{u_j\right\}_{j=1}^\infty\subset\mathcal{D}(\Omega)</math> сходится к <math>u\in\mathcal{D}(\Omega)</math>, если:

1. Функции <math>u_j</math> равномерно финитны, то есть <math>\exists K</math> — компакт в <math>\Omega</math> и в том числе <math>\forall j\;\mathrm{supp}\,u_j\subset K</math>.
2. <math>\forall\alpha\;D^{\alpha}u_j(x)\to D^{\alpha}u(x)</math> равномерно по <math>x</math>.

Здесь <math>\Omega</math> — ограниченная область в <math>\R^n</math>.

Для вопросов преобразования Фурье используются обобщённые функции медленного роста. Для них в качестве основного выбирается класс Шварца <math>\mathcal S = \mathcal S(\mathbb R^n)</math> — бесконечно гладких на <math>\mathbb R^n</math> функций, убывающих при <math>|x|\to\infty</math> быстрее любой степени <math>|x|^{-k}</math> вместе со всеми своими производными. Сходимость на нём определяется следующим образом: последовательность функций <math>\phi_1, \phi_2,\dots </math> сходится к <math>\phi^*</math>, если

<math>\forall\alpha,\beta\in\mathbb N\ |x|^\alpha D^\beta\phi_j(x)\to |x|^\alpha D^\beta\phi^*(x)</math> равномерно по <math>x</math>.

Выбор класса Шварца для построения преобразования Фурье на пространстве обобщенных функций обуславливается тем, что преобразование Фурье является автоморфизмом на классе Шварца.

Литература

• Шаблон:Книга

См. также

• Обобщённая функция
• Финитная функция