Русская Википедия:Противоположная теорема
Противоположная теорема — это утверждение, в котором условие и заключение исходной теоремы заменены их отрицаниями. Каждая теорема может быть выражена в форме импликации <math>A \Rightarrow B</math>, в которой посылка <math>A</math> является условием теоремы, а следствие <math>B</math> является заключением теоремы. Тогда теорема, записанная в виде <math>\overline{A} \Rightarrow \overline{B}</math> является противоположной к нейШаблон:Sfn. Здесь <math>\overline{A}</math> — отрицание <math>A</math>, <math>\overline{B}</math> — отрицание <math>B</math>. Доказательство необходимости и достаточности условий <math>A</math> теоремы <math>A \Rightarrow B</math> для её заключения <math>B</math> сводится к доказательству одной из двух противоположных теорем (<math>A \Rightarrow B</math> и <math>\overline{A} \Rightarrow \overline{B}</math>; <math>B \Rightarrow A</math> и <math>\overline{B} \Rightarrow \overline{A}</math>) или одной из двух обратных теорем (<math>A \Rightarrow B</math> и <math>B \Rightarrow A</math>; <math>\overline{A} \Rightarrow \overline{B}</math> и <math>\overline{B} \Rightarrow \overline{A}</math>)Шаблон:Sfn.
Если условие и/или заключение теоремы являются сложными суждениями, то противоположная теорема допускает множество не равносильных друг другу формулировок. Например, если условием теоремы является <math>A</math>, а заключением <math>Y \Rightarrow Z</math>: <math>A \Rightarrow (Y \Rightarrow Z)</math>, то для противоположной теоремы существует пять форм:Шаблон:Sfn
- <math>\overline{A} \Rightarrow (\overline{Y \Rightarrow Z})</math>
- <math>\overline{Y} \Rightarrow (\overline{A \Rightarrow Z}) </math>
- <math>\overline{A \And Y} \Rightarrow \overline{Z}</math>
- <math> A \Rightarrow (\overline{Y} \Rightarrow \overline{Z})</math>
- <math> Y \Rightarrow (\overline{A} \Rightarrow \overline{Z})</math>
Свойства
- Прямая теорема эквивалентна теореме, противоположной обратной: <math>( A \Rightarrow B ) \Leftrightarrow ( \overline{B} \Rightarrow \overline{A} ) </math>
- Обратная теорема эквивалентна противоположной прямой: <math>( B \Rightarrow A ) \Leftrightarrow ( \overline{A} \Rightarrow \overline{B} ) </math>Шаблон:Sfn
Примеры
- Теорему Пифагора можно сформулировать следующим образом:
Если в треугольнике со сторонами длиной <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> угол, противолежащий стороне <math>c</math>, прямой, то <math>a^2+b^2=c^2</math>.
- Противоположная к теореме Пифагора теорема может быть сформулирована следующим образом:
Если в треугольнике со сторонами длиной <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> угол, противолежащий стороне <math>c</math>, не является прямым, то <math>a^2+b^2 \neq c^2</math>.
См. также
Примечания
Литература
