Русская Википедия:Противоположно скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр
Противополо́жно скру́ченный отсечённый ромбоикосододека́эдр[1] — один из многогранников Джонсона (J77, по Залгаллеру — М14+М6).
Составлен из 52 граней: 15 правильных треугольников, 25 квадратов, 11 правильных пятиугольников и 1 правильного десятиугольника. Десятиугольная грань окружена пятью пятиугольными и пятью квадратными; среди пятиугольных граней 5 окружены десятиугольной и четырьмя квадратными, 1 — пятью квадратными, остальные 5 — четырьмя квадратными и треугольной; среди квадратных граней 5 окружены десятиугольной, двумя пятиугольными и треугольной, 5 — двумя пятиугольными, квадратной и треугольной, 5 — пятиугольной, квадратной и двумя треугольными, остальные 10 — двумя пятиугольными и двумя треугольными; среди треугольных граней 5 окружены пятиугольной и двумя квадратными, остальные 10 — тремя квадратными.
Имеет 105 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между десятиугольной и пятиугольной гранями, 5 рёбер — между десятиугольной и квадратной, 45 рёбер — между пятиугольной и квадратной, 5 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 5 рёбер — между двумя квадратными, остальные 40 — между квадратной и треугольной.
У противоположно скрученного отсечённого ромбоикосододекаэдра 55 вершин. В 10 вершинах сходятся десятиугольная, пятиугольная и квадратная грани; в 45 вершинах сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.
Противоположно скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр можно получить из ромбоикосододекаэдра, выбрав в нём две части — любые два противолежащих пятискатных купола (J5), — и один из них удалив, а другой повернув на 36° вокруг его оси симметрии. Описанная и полувписанная сферы полученного многогранника совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра.
Метрические характеристики
Если противоположно скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины <math>a</math>, его площадь поверхности и объём выражаются как
- <math>S = \frac{1}{4}\left(100+15\sqrt3+\left(10+11\sqrt5\right)\sqrt{5+2\sqrt5}\right)a^2 \approx 58{,}1146508a^2,</math>
- <math>V = \frac{1}{6}\left(115+54\sqrt5\right)a^3 \approx 39{,}2912785a^3.</math>
Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен
- <math>R = \frac{1}{2}\sqrt{11+4\sqrt5}\;a \approx 2{,}2329505a;</math>
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
- <math>\rho = \frac{1}{2}\sqrt{10+4\sqrt5}\;a \approx 2{,}1762509a.</math>
Примечания
Ссылки
- ↑ Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1967. — Т. 2. — Cтр. 23.
