Русская Википедия:Протокол квантового распределения ключей с использованием ЭПР
Протокол квантового распределения ключей с использованием ЭПР, ЭПР-протокол (Шаблон:Lang-en) — квантовый криптографический протокол, основанный на «мысленном эксперименте» Эйнштейна-Подольского-Розена[1] и обобщённой теореме Белла[2]. Был впервые предложен польским физиком Артуром Экертом в 1991 году[3].
История
В 1991 году Артур Экерт разработал квантовый протокол, основанный на свойствах так называемых «запутанных» состояний квантовых частиц[3]. Для этого он использовал пару частиц, называемых ЭПР-парой (где ЭПР означает Эйнштейн-Подольский-Розен, которые представили в статье 1935 года одноимённый парадокс[1]). В этой статье они рассмотрели пространственно разделённые пары частиц (ЭПР-пары), чьи состояния связаны между собой таким образом, что измерение выбранной наблюдаемой одной частицы автоматически определяет результат измерения этой же наблюдаемой другой частицы. При этом, пространственная разделённость ЭПР-пар позволяет говорить о «действии на расстоянии» (дальнодействии).
Например, возможно создать пару фотонов с запутанными поляризациями, состояние которых можно представить следующим образом:
- <math>\vert S \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 0 \rangle \vert 1 \rangle + \vert 1 \rangle \vert 0 \rangle) </math>
Если в результате измерения состояния одного фотона данной пары получилось, что он находится в состоянии <math>\vert 0 \rangle</math>, то можно заранее сказать, что результатом измерения второго фотона будет <math>\vert 1 \rangle</math> и наоборот.
Чтобы объяснить парадокс «действия на расстоянии» Эйнштейн с коллегами предположили, что должны существовать некие скрытые параметры, недоступные в ходе эксперимента. Это, в дальнейшем, привело их к выводу о несостоятельности квантовой механики. Однако, уже в 1964 году Джон Белл доказал, что любая теория локально скрытой переменной должна удовлетворять выведенному им неравенству Белла[2]. Однако, эксперименты, проводимые с 1972 года убедительно показали, что теория квантовой механики данное неравенство нарушает и посему является теорией без локально скрытых параметров[4][5][6][7]. Именно благодаря этому факту квантовые криптографические протоколы на ЭПР-парах способны определить вмешательство криптоаналитика в процесс передачи данных, т.к. наличие криптоаналитика в квантовомеханической системе вносит в неё скрытый параметр, что влечет за собой выполнение неравенства Белла[8].
Описание протокола
Протокол ЭПР использует в своей работе 3 квантовых состояния. Далее приведено его описание с использованием в качестве состояния квантовых частиц поляризации запутанных фотонов (ЭПР-пары)[8]. Обозначим символом <math>\left| \theta \right \rangle</math> линейно поляризованный под углом <math>\theta</math> фотон.
В качестве трёх возможных состояний поляризации ЭПР-пары (не путать с состоянием отдельного кубита) выберем:
- <math>\vert S_0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \vert 0 \rangle \left| \frac{3\pi}{6} \right \rangle + \left| \frac{3\pi}{6} \right \rangle \vert 0 \rangle \right) </math>
- <math>\vert S_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \left| \frac{\pi}{6} \right \rangle \left| \frac{4\pi}{6} \right \rangle + \left| \frac{4\pi}{6} \right \rangle \left| \frac{\pi}{6} \right \rangle \right) </math>
- <math>\vert S_2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \left| \frac{2\pi}{6} \right \rangle \left| \frac{5\pi}{6} \right \rangle + \left| \frac{5\pi}{6} \right \rangle \left| \frac{2\pi}{6} \right \rangle \right) </math>
В свою очередь, для каждого отдельного кубита необходимо выбрать 6 состояний, используемых в ЭПР-паре. Эти состояния будет кодировать следующую информацию:
| Состояние | 0 \right \rangle</math> | \frac{3\pi}{6} \right \rangle</math> | \frac{\pi}{6} \right \rangle</math> | \frac{4\pi}{6} \right \rangle</math> | \frac{2\pi}{6} \right \rangle</math> | \frac{5\pi}{6} \right \rangle</math> |
| Бит | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
В качестве наблюдаемых выберем, соответственно:
<math>M_0 = \left| 0 \right \rangle \left\langle 0 \right|, </math> <math>M_1 = \left| \frac{\pi}{6} \right \rangle\left \langle \frac{\pi}{6} \right|, </math> <math>M_2 = \left| \frac{2\pi}{6} \right \rangle\left \langle \frac{2\pi}{6} \right|</math>
Алгоритм работы
Как и во многих квантовых криптографических протоколах, в ЭПР-протоколе существует две фазы: передача информации по квантовому и по открытому классическому каналу. Алгоритм работы данного протокола может быть описан следующим образом[8]:
Фаза 1. Передача информации по квантовому каналу
Для каждого временного интервала случайным образом из набора состояний <math>\{ \left| S_0 \right \rangle , \left| S_1 \right \rangle , \left| S_2 \right \rangle \} </math> с равной вероятностью выбирается состояние <math> \left| S_j \right \rangle</math>. Затем, создаётся ЭПР-пара в выбранном состоянии <math> \left| S_j \right \rangle</math>. Доверенным источником создаётся ЭПР-пара запутанных фотонов, и один фотон из созданной пары посылается Алисе, второй — Бобу. Алиса и Боб независимо и равновероятно выбирают один из трёх базисов измерений <math>M_0</math>, <math>M_1</math> или <math>M_2</math>, и измеряют полученные фотоны в данном базисе. Алиса записывает измеренный бит, а Боб применяет к своему биту операцию отрицания и записывает результат. Далее данная процедура повторяется в течение необходимого для получения ключа количества временных интервалов.
Фаза 2. Передача сообщения по классическому каналу.
В данной фазе протокола Алиса и Боб передают сообщения по открытому каналу в два этапа.
Этап 1. Разделение ключа
На данном этапе Алиса и Боб выясняют по открытому каналу номера битов, которые они измеряли в одинаковом базисе. Затем они разделяют свои последовательности бит на две подпоследовательности. Одна из них, называемая чистым ключом, содержит те биты, которые были измерены в одинаковом базисе. Другая, называемая отброшенным ключом, содержит все оставшиеся биты.
Этап 2. Определение присутствия криптоаналитика
На данном этапе Алиса и Боб обсуждают по открытому каналу свои отброшенные ключи, чтобы определить, выполняется ли неравенство Белла. Его выполнение означает присутствие криптоаналитика (Евы), а невыполнение — отсутствие.
Для ЭПР-протокола неравенство Белла может быть записано в следующем виде. Пусть <math>P(\ne \vert i, j)</math> определяет вероятность того, что два соответствующих бита отброшенных ключей Алисы и Боба не совпадают, считая, что для измерений был выбран либо базис <math>M_i</math> и <math>M_j</math> или <math>M_j</math> и <math>M_i</math> соответственно.
Пусть также:
- <math>P(= \vert i, j) = 1 - P(\ne \vert i, j)</math>,
- <math>\Delta (i; j) = P(\ne \vert i, j) - P(= \vert i, j) </math>
- <math>\beta = 1 + \Delta (1;2) - \vert \Delta (0;1) - \Delta (0;2) \vert </math>
Тогда неравенство Белла для данного случая сводится к <math> \beta \geq 0</math>.
Однако, при соблюдении законов квантовой механики (то есть в теории без скрытых параметров), <math> \beta = - \frac{1}{2} </math>, что является явным нарушение неравенства Белла. Таким образом, пользуясь данным критерием, можно легко определить вмешательство криптоаналитика в передачу данных, т.к. при его отсутствии система будет описываться законами квантовой механики и, следовательно, нарушать неравенство Белла, а при его наличии становится теорией со скрытым параметром, удовлетворяющей этому неравенству.
Анализ протокола
Согласно принципам квантовой механики, Ева не может точно определить квантовое состояние, пересылаемое от Алисе к Бобу (или, что то же самое, от источника Алисе и Бобу). Тем не менее, она может получить часть пересылаемой информации[9]. Без вмешательства криптоаналитика, каждый кубит несет один бит информации от Алисы к Бобу. Когда же Ева получает часть этой информации, она не может не внести возмущения к состоянию, считываемому Бобом, вводя таким образом ненулевой уровень ошибок. В принципе, Боб может выяснить уровень ошибок и выявить наличие криптоаналитика в ходе общения с Алисой по открытому каналу. Простейшей атакой Евы (перехват и с последующей пересылкой) будет измерение каждого кубита так, как это сделал бы Боб, и пересылка Бобу сигнала, соответствующего результату измерения.
Кроме того, всегда присутствует шум от источника, детекторов и т.д., поэтому принципиально невозможно отличить ошибки, вызванные шумом, от ошибок, вызванных действиями криптоаналитика[9]. Поэтому при дальнейшем анализе будем предполагать, что все ошибки вызваны только вмешательством криптоаналитика.
Ещё одна проблема имеет статистический характер. Криптоаналитику может просто повезти: ведь ошибки возникают только в среднем, поэтому в каждом отдельном случае, уровень ошибок вполне может быть нулевым (разумеется, с вероятностью, экспоненциально убывающей с ростом длины ключа). Введем величину QBER (Quantum Bit Error Rate), которая отвечает за уровень ошибок при передаче кубитов.
Высокие значения QBER в системах квантового разделения ключей позволяют криптоаналитику получить больше информации о передаваемых ключах, чем пользователю системы. Если такое случается, то использование каких-либо методов усилений безопасности становятся бесполезными. Поэтому, при разработке сети квантового разделения ключей необходимо закладывать уровень QBER ниже определённого предела, чтобы в дальнейшем использовать методы понижения количества информации, перехваченной Евой[9].
Предельно безопасный уровень для ЭПР-протокола: <math>QBER_T \approx 15 \%</math> [9]
Другие вариации протокола
Существуют и другие вариации данного протокола, улучшающие эффективность использования кубитов вплоть до теоретически достижимых 100 %[10] [11]
Сравнение с другими протоколами
В отличие от широко известных протоколов BB84 и B92, этот протокол использует отброшенные ключи для обнаружения присутствия криптоаналитика (Евы) с помощью неравенства Белла[8].
Примечания
Литература
- ↑ 1,0 1,1 Шаблон:Source
- ↑ 2,0 2,1 Шаблон:Source
- ↑ 3,0 3,1 Шаблон:Статья
- ↑ Freedman S.J., Clauser J.F. (1972) Experimental test of local hidden-variable theories. Phys. Rev. Lett. 28:938-941.
- ↑ Aspect A, Dalibard J, Roger G (1982) Experimental test of Bell’s inequalities using time-varying analyzers. Phys. Rev. Lett. 49:1804-1807.
- ↑ Weihs G, et al. (1998) Violation of Bell’s inequality under strict Einstein locality conditions. Phys. Rev. Lett. 81:5039-5043.
- ↑ Scheidl et al., (2010) Violation of local realism with freedom of choice. PNAS November 16, 2010 vol. 107 no. 46:19708-19713 Шаблон:Wayback
- ↑ 8,0 8,1 8,2 8,3 Шаблон:Статья
- ↑ 9,0 9,1 9,2 9,3 Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
